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(2012•苏州)如图,已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为C,PC与⊙O交于点D,连接PA、PB,设PC的长为x(2<x<4).(1)当x=52时
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(2012•苏州)如图,已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为C,PC与⊙O交于点D,连接PA、PB,设PC的长为x(2<x<4).
(1)当x=
时,求弦PA、PB的长度;
(2)当x为何值时,PD•CD的值最大?最大值是多少?
(1)当x=
5 |
2 |
(2)当x为何值时,PD•CD的值最大?最大值是多少?
▼优质解答
答案和解析
(1)∵⊙O与直线l相切于点A,且AB为⊙O的直径,
∴AB⊥l,又∵PC⊥l,
∴AB∥PC,
∴∠CPA=∠PAB,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠APB=90°,又PC⊥l,
∴∠PCA=∠APB=90°,
∴△PCA∽△APB,
∴
=
,即PA2=PC•AB,
∵PC=
,AB=4,
∴PA=
=
,
∴Rt△APB中,AB=4,PA=
,
由勾股定理得:PB=
=
;
(2)过O作OE⊥PD,垂足为E,
∵PD是⊙O的弦,OE⊥PD,
∴PE=ED,
又∵∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°,
∴四边形OACE为矩形,
∴CE=OA=2,又PC=x,
∴PE=ED=PC-CE=x-2,
∴PD=2(x-2),
∴CD=PC-PD=x-2(x-2)=x-2x+4=4-x,
∴PD•CD=2(x-2)•(4-x)=-2x2+12x-16=-2(x-3)2+2,
∵2<x<4,
∴当x=3时,PD•CD的值最大,最大值是2.
∴AB⊥l,又∵PC⊥l,
∴AB∥PC,
∴∠CPA=∠PAB,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠APB=90°,又PC⊥l,
∴∠PCA=∠APB=90°,
∴△PCA∽△APB,
∴
PC |
AP |
PA |
AB |
∵PC=
5 |
2 |
∴PA=
|
10 |
∴Rt△APB中,AB=4,PA=
10 |
由勾股定理得:PB=
16−10 |
6 |
(2)过O作OE⊥PD,垂足为E,
∵PD是⊙O的弦,OE⊥PD,
∴PE=ED,
又∵∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°,
∴四边形OACE为矩形,
∴CE=OA=2,又PC=x,
∴PE=ED=PC-CE=x-2,
∴PD=2(x-2),
∴CD=PC-PD=x-2(x-2)=x-2x+4=4-x,
∴PD•CD=2(x-2)•(4-x)=-2x2+12x-16=-2(x-3)2+2,
∵2<x<4,
∴当x=3时,PD•CD的值最大,最大值是2.
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