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四.求证：a^2(x-b)(x-c)/(a-b)(a-c)+b^2(x-c)(x-a)/(b-c)(b-a)+c^2(x-a)(x-b)/(c-a)(c-b)=x^2
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四.求证：a^2(x-b)(x-c)/(a-b)(a-c)+b^2(x-c)(x-a)/(b-c)(b-a)+c^2(x-a)(x-b)/(c-a)(c-b)=x^2
▼优质解答
答案和解析
构造函数
f(x)=a^2(x-b)(x-c)/(a-b)(a-c)+b^2(x-c)(x-a)/(b-c)(b-a)+c^2(x-a)(x-b)/(c-a)(c-b)-x^2
显然f(x)是二次函数,二次函数最多有两个根.如果超过了两个根就说明等式恒成立.
现在,显然有：
f(a)=a^2-a^2=0
f(b)=b^2-b^2=0
f(c)=c^2-c^2=0
即方程 f(x)=0,至少有三个根,所以f(x)≡0,(f(x)恒等于0
即
a^2(x-b)(x-c)/(a-b)(a-c)+b^2(x-c)(x-a)/(b-c)(b-a)+c^2(x-a)(x-b)/(c-a)(c-b)=x^2
f(x)=a^2(x-b)(x-c)/(a-b)(a-c)+b^2(x-c)(x-a)/(b-c)(b-a)+c^2(x-a)(x-b)/(c-a)(c-b)-x^2
显然f(x)是二次函数,二次函数最多有两个根.如果超过了两个根就说明等式恒成立.
现在,显然有：
f(a)=a^2-a^2=0
f(b)=b^2-b^2=0
f(c)=c^2-c^2=0
即方程 f(x)=0,至少有三个根,所以f(x)≡0,(f(x)恒等于0
即
a^2(x-b)(x-c)/(a-b)(a-c)+b^2(x-c)(x-a)/(b-c)(b-a)+c^2(x-a)(x-b)/(c-a)(c-b)=x^2
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