当一个多项式P(x)除以x-1的时候余数是3除以x-2的时候余数是5求当多项式P(x)除以(x-1)(x-2)时候的余数

Question

当一个多项式P(x)除以x-1的时候余数是3 除以x-2的时候余数是5 求当多项式P(x)除以(x-1)(x-2)时候的余数

Answer 1

设p(x)=q(x)(x-1)(x-2)+r(x),余式是次数不超过一次的多项式,设为ax+b,即
p(x)=q(x)(x-1)(x-2)+ax+b.令x=1代入得
p(1)=a+b,由于p(x)除以x-1的余数是1,因此p(1)=1,即
a+b=1.
同理有2a+b=3,解得
a=2,b=-1,即r(x)=2x-1.余式
p(x)除以(x-1)(x-2)的余式是2x-1.