已知函数f(x)对任意x、y属于R（实数集合）,总有f(x)+f(y)=f(x+y)且当x大于零时,f(x)小于零.（1）求证：f(x-y)=f(x)+f(y)(2)求证：f(x)在R（实数集合）上是减函数（3）若f(1)=-2/3,求f(x)在[-3,3]上的最大值

Question

已知函数f(x)对任意x、y属于R（实数集合）,总有f(x)+f(y)=f(x+y)且当x大于零时,f(x)小于零.
（1）求证：f(x-y)=f(x)+f(y)
(2)求证：f(x)在R（实数集合）上是减函数
（3）若f(1)=-2/3,求f(x)在[-3,3]上的最大值及最小值.

Answer 1

(1)令x=y=0得f(0)=0
令y=-x得f(x)+f(-x)=f(0)=0
所以f(x)是奇函数
用-y代条件中的y得
f(x)+f(-y)=f(x-y)
所以f(x-y)=f(x)+f(-y)=f(x)-f(y)
你写的要证明的结论是不是有点问题!
(2)设x10,故有f(x2-x1)0
即f(x1)>f(x2)
所以f(x)在R上是减函数
(3)由(2)知f(x)在[-3,3]上是减函数
所以最小值是f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-2
最大值是f(-3)=-f(3)=-3f(1)=2