已知3阶方阵A的特征值为0,1,2,所对应的特征向量为[1,1,1]T[1,1,0]T[1,0,0]T求A^k,其中k为任意正整数

Question

已知3阶方阵A的特征值为0,1,2 ,所对应的特征向量为[1,1,1]T [1,1,0]T [1,0,0]T
求 A^k,其中k为任意正整数

Answer 1

令B=0 0 0 P=1 1 1
0 1 0 1 1 0
0 0 2 1 0 0
则P^(-1)AP=B,即A=PBP^(-1),所以A^k=PB[P^(-1)P]B[P^(-1)P]B…………[P^(-1)P]BP^(-1)=PB^kP^(-1),P^(-1)可由以下过程求得.
1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1
1 1 0 0 1 0 → 1 1 0 0 1 0 → 0 1 0 0 1 -1 → 0 1 0 0 1 -1
1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 -1 0 0 1 1 -1 0
所以,A^k=2^k 1-2^k -1
0 1 -1
0 0 0