已知：如图，矩形ABCD中，CD=2，AD=3，以C点为圆心，作一个动圆，与线段AD交于点P（P和A、D不重合），过P作⊙C的切线交线段AB于F点．（1）求证：△CDP∽△PAF；（2）设DP=x，AF=y，求y关于x的函

Question

已知：如图，矩形ABCD中，CD=2，AD=3，以C点为圆心，作一个动圆，与线段AD交于点P（P和A、D不重合），过P作⊙C的切线交线段AB于F点．
（1）求证：△CDP∽△PAF；
（2）设DP=x，AF=y，求y关于x的函数关系式，及自变量x的取值范围；
（3）是否存在这样的点P，使△APF沿PF翻折后，点A落在BC上，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵过P作⊙C的切线交线段AB于F点，
∴CP⊥FP，
∴∠1+∠2=90°，
∵在矩形ABCD中，
∴∠D=∠A=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴△CDP∽△PAF；

（2）∵△CDP∽△PAF，
∴(PD)/(AF)=(CD)/(AP)，
∵DP=x，AF=y，
∴(x)/(y)=(2)/(3−x)，
∴y=-(1)/(2)x²+(3)/(2)x（0＜x＜3），


（3）证明：设△AFP下翻后落在BC边上的点为Q，
∵△AFP≌△QFP，
∴QF=AF=y，∠QPF=∠APF． 
由PF是圆的切线可知：∠QPF+∠DPC=90°，∠QPF+∠QPC=90°．
∴∠QPC=∠DPC．
又∵∠DPC=∠PCQ，
∴△QPC为等腰三角形，
∴QC=QP=AP=3-x，则BQ=x．
在△FBQ中，FB=2-y，BQ=x，FQ=y 
x²+（2-y）²=y²整理得：x²-4y+4=0，
由y=-(1)/(2)x²+(3)/(2)x得3x²-6x+4=0 因为（-6）²-4×3×4＜0，
所以此方程无实根，
所以这样的点就不存在．