如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在直线BD上，由B点到D点移动。（1）当P点移动到离B点多远时，△ABP∽△PDC；（2）当P点移动到离B多远时，∠APC=90°？

Question

如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在直线BD上，由B点到D点移动。
（1）当P点移动到离B点多远时，△ABP∽△PDC；
（2）当P点移动到离B多远时，∠APC=90°？

Answer 1

（1）由AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm， 设BP=xcm，则PD=（14﹣x）cm， 若△ABP∽△PDC， ∴ = ， 即 = ， 变形得：14x﹣x 2 =24， 即x 2 ﹣14x+24=0， 因式分解得：（x﹣2）（x﹣12）=0， 解得：x 1 =2，x 2 =12， ∴BP=2cm或12cm时，△ABP∽△PDC； 若△ABP∽△CDP， = ，即 = ， 解得：x=8.4， ∴BP=8.4cm， 综上，BP=2cm或12cm或8.4cm时，△ABP∽△PDC； （2）若∠APC=90°，则∠APB+∠CPD=90°， 又AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠B=∠D=90°， ∴∠A+∠APB=90°， ∴∠A=∠CPD， ∴△ABP∽△PDC， 由（1）得此时BP=2cm或12cm，则当BP=2cm或12cm时，∠APC=90°。