在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D．（1）如图1，当∠ABC=90°时，若CE平分∠ACB，交AB于点E，交BD于点F．①求证：△BEF是等腰三角形；②求证：BD=12（BC+BF）；（2）点E在AB边上，连接CE．若BD=12（BC+BE

Question

在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D．
（1）如图1，当∠ABC=90°时，若CE平分∠ACB，交AB于点E，交BD于点F．
①求证：△BEF是等腰三角形；
②求证：BD=(1)/(2)（BC+BF）；
（2）点E在AB边上，连接CE．若BD=(1)/(2)（BC+BE），在图2中补全图形，判断∠ACE与∠ABC之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解∠ACE与∠ABC关系的思路．

Answer 1

（1）①在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD，AD=CD，
∵∠ABC=90°，
∴∠ACB=45°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB=∠ACE=22.5°，
∴∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°，
∴BE=BF，
∴△BEF是等腰三角形；

②如图，延长AB至M，使得BM=AB，连接CM，
∴BD∥CM，BD=(1)/(2)CM，
∴∠BCM=∠DBC=∠ABD=∠BMC=45°，
∠BFE=∠MCE，
∴BC=BM，
由①得，∠BEF=∠BFE，BE=BF，
∴∠BFE=∠MCE=∠BEF，
∴EM=MC，
∴BD=(1)/(2)EM=(1)/(2)（BC+BF）；

（2）∠ACE=(1)/(4)∠ABC．
求解∠ACE与∠ABC关系的思路：
a，延长AB至P，使得BP=AB，连接CP，与（1）②同理可得BD∥PC，BD=(1)/(2)PC，BP=BC；
b，由BD=(1)/(2)（BC+BE），可证明△PEC和△BEF分别是等腰三角形；
c，由∠BEF+∠BFE+∠EBF=180°以及∠FCD+∠DFC=90°，可得(180°-∠EBF)/(2)=90°-∠DCF，即可证明∠ACE=(1)/(4)∠ABC．