在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-nx+m-54关于y轴对称，且经过点（-1，-34）（1）求m，n的值；（2）直线l经过点（0，-2）且与y轴垂直，点P是抛物线上一动点，记P到直线l的距离为d，试探索d

Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-nx+m-(5)/(4)关于y轴对称，且经过点（-1，-(3)/(4)）
（1）求m，n的值；
（2）直线l经过点（0，-2）且与y轴垂直，点P是抛物线上一动点，记P到直线l的距离为d，试探索d与线段OP长度的数量关系，并证明；
（3）若A（1，1），点P是抛物线上一动点，请结合函数图象，直接写出OP+AP的最小值，以及取得最小值时点P的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线关于y轴对称，
∴n=0，
∵抛物线经过点（-1，-(3)/(4)），
∴m+m-(5)/(4)=-(3)/(4)，解得m=(1)/(4)；
（2）d=OP．证明如下：
由（1）可知抛物线解析式为y=(1)/(4)x²-1，故可设P点坐标为（x，(1)/(4)x²-1），
∴点P到直线l的距离d=(1)/(4)x²-1-（-2）=(1)/(4)x²+1，
又∵OP=√(x2+((1)/(4)x2-1)2)=√(x2+(1)/(16)x4-(1)/(2)x2+1)=√((1)/(16)x4+(1)/(2)x2+1)=√(((1)/(4)x2+1)2)=(1)/(4)x²+1，
∴d=OP；
（3）如图，过A作直线t⊥x轴，与抛物线交于点P，交直线l于点B，

由（2）可知PO=PB，
∴OP+AP=PB+AP=AB，
∴此时P点满足条件，
∴OP+AP=1-（-2）=3，把x=1代入抛物线解析式可求得y=-(3)/(4)，
∴OP+AP的最小值为3，此时点P的坐标为（1，-(3)/(4)）．