直线与双曲线有一解时,直线与曲线有一个公共点,为什么直线与双曲线不是相切而是相交呢,老师说有一种情况就是直线与双曲线渐近线平行时,这时不是与双曲线一支切与一点吗,为什么不是

Question

直线与双曲线有一解时,直线与曲线有一个公共点,为什么直线与双曲线不是相切而是
相交呢,老师说有一种情况就是直线与双曲线渐近线平行时,这时不是与双曲线一支切与一点吗,为什么不是相切而是相交呢.这不算相切那什么情况才算相切呢?

Answer 1

我以第（2）小题为例给你讲讲解这类题的方法吧：
先把双曲线的大致图像画出来,关键点要标上,比如焦点,双曲线与x（y）轴的交点等.这道题不必标出焦点,因为题目没有涉及到焦点的问题,但要标出双曲线右支与x轴的交点（3,0）
现在就来对直线进行讨论：
A.当直线垂直于x轴时,这种情况要单独拿出来考虑.因为这时的斜率k是不存在的.恰好,在这种情况下,直线恰好与双曲线相切.于是我们就找到一条.
B.当直线不垂直与x轴时,设直线的方程为y=k（x-3),与双曲线方程联立,得到：（4-9k²）x²+54k²x-81k²-36=0
这里又要分两种情况：
二次项系数4-9k²=0时,k=正负2/3 此时方程只有唯一的解.所以我们又找到两条直线y=2/3*(x-3)和y=-2/3*(x-3).不难发现,这两条直线恰好与双曲线的渐近线平行.通过画图也能确认这两条直线确实与双曲线只有一个交点.
二次项系数4-9k²≠0时,因为直线与双曲线只有一个交点,所以这个二次方程的解一定是唯一的.即判别式等于零.代入发现,这是一个矛盾式.说明在这种情况下,这样的直线是不存在的.
最后综上所述,这样的直线一共有3条.
第一题用同样的方法可以求解,你就当做练习吧.