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如图,直线x=﹣4与x轴交于点E,一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A,交直线x=﹣4于点B,过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C,直线OC交直线AB于D,且AD:BD=1:3.(1)求点A的坐
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如图,直线x=﹣4与x轴交于点E,一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A,交直线x=﹣4于点B,过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C,直线OC交直线AB于D,且AD:BD=1:3. (1)求点A的坐标; (2)若△OBC是等腰三角形,求此抛物线的函数关系式. |
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答案和解析
(1)(﹣2,0);(2)y= x 2 + x或y= x 2 + x. |
试题分析:(1)过点D作DF⊥x轴于点F,由抛物线的对称性可知OF=AF,则2AF+AE=4①,由DF∥BE,得到△ADF∽△ABE,根据相似三角形对应边成比例得出 = ,即AE=2AF②,①与②联立组成二元一次方程组,解出AE=2,AF=1,进而得到点A的坐标; (2)先由抛物线过原点(0,0),设此抛物线的解析式为y=ax 2 +bx,再根据抛物线过原点(0,0)和A点(﹣2,0),求出对称轴为直线x=﹣1,则由B点横坐标为﹣4得出C点横坐标为2,BC=6.再由OB>OC,可知当△OBC是等腰三角形时,可分两种情况讨论:①当OB=BC时,设B(﹣4,y 1 ),列出方程,解方程求出y 1 的值,将A,B两点坐标代入y=ax 2 +bx,运用待定系数法求出此抛物线的解析式;②当OC=BC时,设C(2,y 2 ),列出方程,解方程求出y 2 的值,将A,C两点坐标代入y=ax 2 +bx,运用待定系数法求出此抛物线的解析式. 试题解析:(1)如图,过点D作DF⊥x轴于点F. 由题意,可知OF=AF,则2AF+AE=4①. ∵DF∥BE, ∴△ADF∽△ABE, ∴ = ,即AE=2AF②, ①与②联立,解得AE=2,AF=1, ∴点A的坐标为(﹣2,0); (2)∵抛物线过原点(0,0), ∴可设此抛物线的解析式为y=ax 2 +bx. ∵抛物线过原点(0,0)和A点(﹣2,0), ∴对称轴为直线x= =﹣1, ∵B、C两点关于直线x=﹣1对称,B点横坐标为﹣4, ∴C点横坐标为2, ∴BC=2﹣(﹣4)=6. ∵抛物线开口向上, ∴∠OAB>90°,OB>AB=OC, ∴当△OBC是等腰三角形时,分两种情况讨论: ①当OB=BC时,设B(﹣4,y 1 ), 则16+ =36,解得y 1 =±2 (负值舍去). 将A(﹣2,0),B(﹣4,2 )代入y=ax 2 +bx, 得 ,解得 . ∴此抛物线的解析式为y= x 2 + x; ②当OC=BC时,设C(2,y 2 ), 则4+ =36,解得y 2 =±4 (负值舍去). 将A(﹣2,0),C(2,4 )代入y=ax 2 +bx, 得 ,解得 . ∴此抛物线的解析式为y= x 2 + x. 综上可知,若△OBC是等腰三角形,此抛物线的函数关系式为y= x 2 + x或y= x 2 + x. |
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