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(2014•湖州)已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,以P(1,1)为圆心的⊙P与x轴,y轴分别相切于点M和点N,点F从点M出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,连接PF,过点PE
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(2014•湖州)已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,以P(1,1)为圆心的⊙P与x轴,y轴分别相切于点M和点N,点F从点M出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,连接PF,过点PE⊥PF交y轴于点E,设点F运动的时间是t秒(t>0).
(1)若点E在y轴的负半轴上(如图所示),求证:PE=PF;
(2)在点F运动过程中,设OE=a,OF=b,试用含a的代数式表示b;
(3)作点F关于点M的对称点F′,经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,连接QE.在点F运动过程中,是否存在某一时刻,使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似?若存在,请直接写出t的值;若不存在,请说明理由.
(1)若点E在y轴的负半轴上(如图所示),求证:PE=PF;
(2)在点F运动过程中,设OE=a,OF=b,试用含a的代数式表示b;
(3)作点F关于点M的对称点F′,经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,连接QE.在点F运动过程中,是否存在某一时刻,使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似?若存在,请直接写出t的值;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)如图,连接PM,PN,
∵⊙P与x轴,y轴分别相切于点M和点N,
∴PM⊥MF,PN⊥ON且PM=PN,
∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°,
∵PE⊥PF,
∠NPE=∠MPF=90°-∠MPE,
在△PMF和△PNE中,
,
∴△PMF≌△PNE(ASA),
∴PE=PF;
(2)分两种情况:
①当t>1时,点E在y轴的负半轴上,如图1,
由(1)得△PMF≌△PNE,
∴NE=MF=t,PM=PN=1,
∴b=OF=OM+MF=1+t,a=NE-ON=t-1,
∴b-a=1+t-(t-1)=2,
∴b=2+a,
②0<t≤1时,如图2,点E在y轴的正半轴或原点上,
同理可证△PMF≌△PNE,
∴b=OF=OM+MF=1+t,a=OE=ON-NE=1-t,
∴b+a=1+t+1-t=2,
∴b=2-a.
综上所述,当t>1时,b=2+a;当0<t≤1时,b=2-a;
(3)存在;
①如图3,当1<t<2时,
∵F(1+t,0),F和F′关于点M对称,M的坐标为(1,0),
∴F′(1-t,0)
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,
∴Q(1-
t,0)
∴OQ=1-
t,
由(1)得△PMF≌△PNE
∴NE=MF=t,
∴OE=t-1
当△OEQ∽△MPF
∴
=
∴
=
,
解得,t=
,
当△OEQ∽△MFP时,
∴
=
,
=
,
解得,t=
,
②如图4,当t>2时,
∵F(1+t,0),F和F′关于点M对称,
∴F′(1-t,0)
∵经过M、E和F′三点的抛
∵⊙P与x轴,y轴分别相切于点M和点N,
∴PM⊥MF,PN⊥ON且PM=PN,
∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°,
∵PE⊥PF,
∠NPE=∠MPF=90°-∠MPE,
在△PMF和△PNE中,
|
∴△PMF≌△PNE(ASA),
∴PE=PF;
(2)分两种情况:
①当t>1时,点E在y轴的负半轴上,如图1,
由(1)得△PMF≌△PNE,
∴NE=MF=t,PM=PN=1,
∴b=OF=OM+MF=1+t,a=NE-ON=t-1,
∴b-a=1+t-(t-1)=2,
∴b=2+a,
②0<t≤1时,如图2,点E在y轴的正半轴或原点上,
同理可证△PMF≌△PNE,
∴b=OF=OM+MF=1+t,a=OE=ON-NE=1-t,
∴b+a=1+t+1-t=2,
∴b=2-a.
综上所述,当t>1时,b=2+a;当0<t≤1时,b=2-a;
(3)存在;
①如图3,当1<t<2时,
∵F(1+t,0),F和F′关于点M对称,M的坐标为(1,0),
∴F′(1-t,0)
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,
∴Q(1-
1 |
2 |
∴OQ=1-
1 |
2 |
由(1)得△PMF≌△PNE
∴NE=MF=t,
∴OE=t-1
当△OEQ∽△MPF
∴
OE |
MP |
OQ |
MF |
∴
t-1 |
1 |
1-
| ||
t |
解得,t=
1+
| ||
4 |
当△OEQ∽△MFP时,
∴
OE |
MF |
OQ |
MP |
t-1 |
t |
1-
| ||
1 |
解得,t=
2 |
②如图4,当t>2时,
∵F(1+t,0),F和F′关于点M对称,
∴F′(1-t,0)
∵经过M、E和F′三点的抛
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