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如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP的坐标为.

题目详情
如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,
OP
的坐标为______.
▼优质解答
答案和解析
设滚动后的圆的圆心为O',切点为A(2,0),连接O'P,
过O'作与x轴正方向平行的射线,交圆O'于B(3,1),设∠BO'P=θ
∵⊙O'的方程为(x-2)2+(y-1)2=1,
∴根据圆的参数方程,得P的坐标为(2+cosθ,1+sinθ),
∵单位圆的圆心的初始位置在(0,1),圆滚动到圆心位于(2,1)
∴∠AO'P=2,可得θ=
2
-2
可得cosθ=cos(
2
-2)=-sin2,sinθ=sin(
2
-2)=-cos2,
代入上面所得的式子,得到P的坐标为(2-sin2,1-cos2)
OP
的坐标为(2-sin2,1-cos2).
故答案为:(2-sin2,1-cos2)
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