设L为光滑弧段,其弧长为L,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在曲线上连续,证明|∫(在L上)Pdx+Qdy+Zdz|≤LM,其中M=max{(P^2+Q^2+R^2)的1/2次}

Question

设L为光滑弧段,其弧长为L,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在曲线上连续,证明 |∫(在L上)Pdx+Qdy+Zdz| ≤LM,其中M=max{(P^2+Q^2+R^2)的1/2次}

Answer 1

首先根据两类曲线积分的关系,有|∫Pdx+Qdy+Zdz|=|∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds|,根据曲线积分的性质,|∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds|≤∫|(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)|ds≤|(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)|*L≤|P+Q+R|L=[(P^2+Q^2+R^2)^(1/2)]L,因此原积分≤LM