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函数y=f(x)满足对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2016)+f(2017)+f(2018)=()A.12B.8C.4D.0
题目详情
函数y=f(x)满足对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2016)+f(2017)+f(2018)=( )
A. 12
B. 8
C. 4
D. 0
▼优质解答
答案和解析
∵函数y=f(x)满足对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,
且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称
∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x).
∴函数的周期为4.
∵函数f(x)为奇函数,∴f(0)=0,∴f(2)=-f(0)=0.
∵f(1)=4,∴f(-1)=-f(1)=-4,f(2)=f(0)=0,
f(2016)+f(2017)+f(2018)
=f(0)+f(1)+f(2)
=0+4+0
=4.
故选:C.
且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称
∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x).
∴函数的周期为4.
∵函数f(x)为奇函数,∴f(0)=0,∴f(2)=-f(0)=0.
∵f(1)=4,∴f(-1)=-f(1)=-4,f(2)=f(0)=0,
f(2016)+f(2017)+f(2018)
=f(0)+f(1)+f(2)
=0+4+0
=4.
故选:C.
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