已知f（x）=x2+mx+1（m∈R），g（x）=ex．（1）当x∈[0，2]时，F（x）=f（x）-g（x）为增函数，求实数m的取值范围；（2）设函数G(x)=f(x)g(x)，H(x)=-14x+54，若不等式G（x）≤H（x）对x∈[0，5]恒成立，

Question

已知f（x）=x²+mx+1（m∈R），g（x）=e^x．
（1）当x∈[0，2]时，F（x）=f（x）-g（x）为增函数，求实数m的取值范围；
（2）设函数G(x)=(f(x))/(g(x))，H(x)=-(1)/(4)x+(5)/(4)，若不等式G（x）≤H（x）对x∈[0，5]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=x²+mx+1，g（x）=e^x，
∴F（x）=x²+mx+1-e^x，得F'（x）=2x+m-e^x．
又∵x∈[0，2]时F（x）为增函数，∴F'（x）=2x+m-e^x≥0对x∈[0，2]恒成立，即m≥e^x-2x．
令h（x）=e^x-2x，x∈[0，2]，则h'（x）=e^x-2，由h'（x）=0，解得x=ln2．
当x∈（0，ln2）时，h'（x）<0，当x∈（ln2，2）时，h'（x）>0，
∴h（x）在[0，ln2]单调递减；在（ln2，2]单调递增，
又∵h（0）=1，h（2）=e²-4>1，
∴h(x)max=h(2)=e2-4，
∴m≥e²-4；
（2）G(x)=(f(x))/(g(x))=(x2+mx+1)/(ex)，H(x)=-(1)/(4)x+(5)/(4)．
不等式G（x）≤H（x）对x∈[0，5]恒成立，即x2+mx+1≤ex(-(1)/(4)x+(5)/(4))对x∈[0，5]恒成立，
令φ（x）=ex(-(1)/(4)x+(5)/(4))，则φ′（x）=ex(-(1)/(4)x+1)，
令φ'（x）=0，得x=4，
当x∈（-∞，4）时，φ′（x）>0，当x∈（4，+∞）时，φ′（x）<0，
∴φ（x）在（-∞，4）单调递增；在（4，+∞）上单调递减，
又∵φ（x）=0有唯一零点x=5，作出函数φ（x）的图象如图：
∵当x=0时，x²+mx+1=1<e0(-(1)/(4)×0+(5)/(4))=(5)/(4)成立．
∴要满足r（x）=x²+mx+1≤φ（x）对x∈[0，5]恒成立，
只需r（5）≤0，即26+5m≤0，解得m≤-(26)/(5)．