如图，已知双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为是双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，α∈[π

Question

如图，已知双曲线 (x2)/(a2)- (y2)/(b2)=1（a>0，b>0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为是双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，α∈[ (π)/(12)， (π)/(6)]，则该双曲线离心率e的取值范围为___．

Answer 1

如图所示，
设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′．
则四边形AFBF′为矩形．
因此|AB=|FF′|=2c．
|AF′|-|AF|=2a．
|AF|=2csinα，|BF′|=2ccosα．
∴2ccosα-2csinα=2a．
∴e=(1)/(cosα-sinα)=(1)/(√(2)cos(α+(π)/(4)))，
∵α∈[(π)/(12)，(π)/(6)]，
∴α+(π)/(4)∈[(π)/(3)，(5π)/(12)]，
∴e∈[√(2)，√(3)+1]．
故答案为：[√(2)，√(3)+1]．