已知f（x）=q，当x＝pq(p，q∈N+，pq为既约真分数，0＜p＜q)0，x为(0，1)中的无理数证明：对任意x0∈（0，1），任意正数δ，（x0-δ，x0+δ）⊂（0，1），有f（x）在（x0-δ，x0+δ）上无界．

Question

已知f（x）=

q，当x＝(p)/(q)(p，q∈N+，(p)/(q)为既约真分数，0＜p＜q)

0，x为(0，1)中的无理数

证明：对任意x₀∈（0，1），任意正数δ，（x₀-δ，x₀+δ）⊂（0，1），有f（x）在（x₀-δ，x₀+δ）上无界．

Answer 1

证明：可取x₀∈（x₀-δ，x₀+δ）⊂（0，1）上的有理数(p)/(q)，
则f（x₀）=q，
由于x₀任意，q无最大值，
若x₀∈（x₀-δ，x₀+δ）⊂（0，1）上的无理数，
则f（x₀）=0，
对任意x₀∈（0，1），任意正数δ，（x₀-δ，x₀+δ）⊂（0，1），
有f（x）在（x₀-δ，x₀+δ）上无界．