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设集合A={a1,a2,…,an}(ai∈N*,i=1,2,3,…,n,n∈N*),若存在非空集合B,C,使得B∩C=∅,B∪C=A,且集合B的所有元素之和等于集合C的所有元素之和,则称集合A为“最强集合”.(1)
题目详情
设集合A={a1,a2,…,an}(ai∈N*,i=1,2,3,…,n,n∈N*),若存在非空集合B,C,使得B∩C=∅,B∪C=A,且集合B的所有元素之和等于集合C的所有元素之和,则称集合A为“最强集合”.
(1)若“最强集合”A={1,2,3,4,m},求m的所有可能值;
(2)若集合A的所有n-1元子集都是“最强集合”,求n的最小值.
(1)若“最强集合”A={1,2,3,4,m},求m的所有可能值;
(2)若集合A的所有n-1元子集都是“最强集合”,求n的最小值.
▼优质解答
答案和解析
(1)根据题意得,m的可能值为6,8,10;
原因如下:
若1+3+4=2+m,则m=6;
若2+3+4=1+m,则m=8;
若1+2+3+4=m,则m=10;
(2)设Sn=a1+a2+…+an,n∈N*,根据题目条件不难判定:
对任意的i=1,2,…,n,Sn-ai是偶数;
①如果Sn是偶数,则A中的每个元素也都是偶数,
即存在bi∈N*,使得ai=2bi,
而集合B={b1,b2,…,bn}的每一个n-1元子集也是“最强集合”;
对集合B可以重复上面的讨论,总可以得到一个所有元素之和都是奇数且每一个n-1元子集都是“最强集合”的集合.
②不妨设Sn是奇数,则对任意的i=1,2,…,n,ai也都是奇数,
又因为Sn=a1+a2+…+an,故n也是奇数;
假设奇数n≤5,对于n=1,3的情形,显然找不出满足条件的集合A,
设n=5,且不妨设a1<a2<a3<a4<a5,
若集合{a2,a3,a4,a5}是“最强集合”,则a2+a5=a3+a4或a2+a3+a4=a5;
若集合{a1,a3,a4,a5}是“最强集合”,则a1+a5=a3+a4或a1+a3+a4=a5;
考虑其他可能的组合:
如果
,那么a1=a2,与集合元素的互异性矛盾;
如果
,那么a1+a2=0,与ai∈N*矛盾;
如果
,那么a1+a2=0,与ai∈N*矛盾;
如果
,那么a1=a2,与元素的互异性矛盾;
因此奇数n>5,而当n=7时,容易验证集合A={1,3,5,7,9,11,13}的每一个6元子集均为“最强集合”;
综上所述,n的最小值为7.
原因如下:
若1+3+4=2+m,则m=6;
若2+3+4=1+m,则m=8;
若1+2+3+4=m,则m=10;
(2)设Sn=a1+a2+…+an,n∈N*,根据题目条件不难判定:
对任意的i=1,2,…,n,Sn-ai是偶数;
①如果Sn是偶数,则A中的每个元素也都是偶数,
即存在bi∈N*,使得ai=2bi,
而集合B={b1,b2,…,bn}的每一个n-1元子集也是“最强集合”;
对集合B可以重复上面的讨论,总可以得到一个所有元素之和都是奇数且每一个n-1元子集都是“最强集合”的集合.
②不妨设Sn是奇数,则对任意的i=1,2,…,n,ai也都是奇数,
又因为Sn=a1+a2+…+an,故n也是奇数;
假设奇数n≤5,对于n=1,3的情形,显然找不出满足条件的集合A,
设n=5,且不妨设a1<a2<a3<a4<a5,
若集合{a2,a3,a4,a5}是“最强集合”,则a2+a5=a3+a4或a2+a3+a4=a5;
若集合{a1,a3,a4,a5}是“最强集合”,则a1+a5=a3+a4或a1+a3+a4=a5;
考虑其他可能的组合:
如果
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如果
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如果
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如果
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因此奇数n>5,而当n=7时,容易验证集合A={1,3,5,7,9,11,13}的每一个6元子集均为“最强集合”;
综上所述,n的最小值为7.
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