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我们给出如下定义:有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形.请解答下列问题:(1)写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称;(2)如图1,在△ABC中,AB=AC
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我们给出如下定义:有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形.请解答下列问题:
(1)写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称;
(2)如图1,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且CD=CA,点E、F分别为BC、AD的中点,连接EF并延长交AB于点G.求证:四边形AGEC是等邻角四边形;
(3)如图2,若点D在△ABC的内部,(2)中的其他条件不变,EF与CD交于点H,图中是否存在等邻角四边形,若存在,指出是哪个四边形,不必证明;若不存在,请说明理由.
(1)写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称;
(2)如图1,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且CD=CA,点E、F分别为BC、AD的中点,连接EF并延长交AB于点G.求证:四边形AGEC是等邻角四边形;
(3)如图2,若点D在△ABC的内部,(2)中的其他条件不变,EF与CD交于点H,图中是否存在等邻角四边形,若存在,指出是哪个四边形,不必证明;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)等腰梯形(或矩形,或正方形)
(2)证法一:取AC的中点H,连接HE、HF
∵点E为BC中点
∴EH为△ABC的中位线
∴EH∥AB,且EH=
AB
同理FH∥DC,且FH=
DC
∵AB=AC,DC=AC
∴AB=DC,EH=FH
∴∠1=∠2
∵EH∥AB,FH∥DC
∴∠2=∠4,∠1=∠3
∴∠4=∠3
∵∠AGE+∠4=180°,∠GEC+∠3=180°
∴∠AGE=∠GEC
∴四边形AGEC是邻角四边形
证法二:连接AE
设∠B的度数为x
∵AB=AC,CD=CA
∴∠C=∠B=x,∠1=
=90°-
∵F是AD的中点
∴AF=EF=
AD
∴∠2=∠1=90°-
∴∠AGE=∠B+∠2=x+90°-
=90°+
∠GEC=180°-(90°-
)=90°+
∴∠AGE=∠GEC
∴四边形AGEC是邻角四边形
(3)存在等邻角四边形,为四边形AGHC.
(2)证法一:取AC的中点H,连接HE、HF
∵点E为BC中点
∴EH为△ABC的中位线
∴EH∥AB,且EH=
1 |
2 |
同理FH∥DC,且FH=
1 |
2 |
∵AB=AC,DC=AC
∴AB=DC,EH=FH
∴∠1=∠2
∵EH∥AB,FH∥DC
∴∠2=∠4,∠1=∠3
∴∠4=∠3
∵∠AGE+∠4=180°,∠GEC+∠3=180°
∴∠AGE=∠GEC
∴四边形AGEC是邻角四边形
证法二:连接AE
设∠B的度数为x
∵AB=AC,CD=CA
∴∠C=∠B=x,∠1=
180°−x |
2 |
x |
2 |
∵F是AD的中点
∴AF=EF=
1 |
2 |
∴∠2=∠1=90°-
x |
2 |
∴∠AGE=∠B+∠2=x+90°-
x |
2 |
x |
2 |
∠GEC=180°-(90°-
x |
2 |
x |
2 |
∴∠AGE=∠GEC
∴四边形AGEC是邻角四边形
(3)存在等邻角四边形,为四边形AGHC.
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