证明∫[π/10,x]sint²dt+∫[π/2,x]1/sint²dt=0在（π/10,π/2）内有唯一实根

Question

证明∫[π/10,x]sint²dt+∫[π/2,x]1/sint²dt=0在（π/10,π/2）内有唯一实根

Answer 1

令f(x)=∫[π/10,x]sint²dt+∫[π/2,x]1/sint²dt
在（π/10,π/2）
f'(x)=sin^2x+1/sin^2x>0
说明函数在（π/10,π/2）单增
f(π/10)=∫[π/2,π/10]1/sint²dt0
由介值定理得
f(x)在（π/10,π/2）内有唯一实根
即
∫[π/10,x]sint²dt+∫[π/2,x]1/sint²dt=0在（π/10,π/2）内有唯一实根