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已知,如图①,∠MON=60°,点A,B为射线OM,ON上的动点(点A,B不与点O重合),且AB=43,在∠MON的内部,△AOB的外部有一点P,且AP=BP,∠APB=120°.(1)求AP的长;(2)求证:点P在∠MON的平分
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已知,如图①,∠MON=60°,点A,B为射线OM,ON上的动点(点A,B不与点O重合),且AB=4
,在∠MON的内部,△AOB的外部有一点P,且AP=BP,∠APB=120°.
(1)求AP的长;
(2)求证:点P在∠MON的平分线上.
(3)如图②,点C,D,E,F分别是四边形AOBP的边AO,OB,BP,PA的中点,连接CD,DE,EF,FC,OP.
①当AB⊥OP时,请直接写出四边形CDEF的周长的值;
②若四边形CDEF的周长用t表示,请直接写出t的取值范围.
3 |
(1)求AP的长;
(2)求证:点P在∠MON的平分线上.
(3)如图②,点C,D,E,F分别是四边形AOBP的边AO,OB,BP,PA的中点,连接CD,DE,EF,FC,OP.
①当AB⊥OP时,请直接写出四边形CDEF的周长的值;
②若四边形CDEF的周长用t表示,请直接写出t的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)过点P作PQ⊥AB于点Q.
∵PA=PB,∠APB=120°,AB=4
∴AQ=BQ=2
,∠APQ=60°(等腰三角形的“三线合一”的性质),
在Rt△APQ中,sin∠APQ=
∴AP=
=
=
=4;
(2)证明:过点P分别作PS⊥OM于点S,PT⊥ON于点T.
∴∠OSP=∠OTP=90°(垂直的定义);
在四边形OSPT中,∠SPT=360°-∠OSP-∠SOB-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°,
∴∠APB=∠SPT=120°,∴∠APS=∠BPT;
又∵∠ASP=∠BTP=90°,AP=BP,
∴△APS≌△BPT,
∴PS=PT(全等三角形的对应边相等)
∴点P在∠MON的平分线上;
(3)①∵OP平分∠AOB,∠AOB=60°,OP⊥AB,
∴AQ=BQ=
AB=2
,
∴OQ=
=6,
同理:PQ=
=2,
∴OP=8,
∵点C,D,E,F分别是四边形AOBP的边AO,OB,BP,PA的中点,
∴CD=EF=
AB,CF=DE=
OP,
∴四边形CDEF的周长为:8+4
②CD和EF是△ABO和△ABP的中位线,
则CD=EF=
AB=2
,
CF和DE分别是△AOP和△BOP的中位线,则CF=DE=
OP,
当AB⊥OP时,OP为四点边形AOBP外接圆的直径时,OP最大,其值是8,OP一定大于当点A或B与点O重合时的长度是4.
则4+4
<t≤8+4
.
∵PA=PB,∠APB=120°,AB=4
3 |
∴AQ=BQ=2
3 |
在Rt△APQ中,sin∠APQ=
AQ |
AP |
∴AP=
AQ |
sin∠APQ |
2
| ||
sin60° |
2
| ||||
|
(2)证明:过点P分别作PS⊥OM于点S,PT⊥ON于点T.
∴∠OSP=∠OTP=90°(垂直的定义);
在四边形OSPT中,∠SPT=360°-∠OSP-∠SOB-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°,
∴∠APB=∠SPT=120°,∴∠APS=∠BPT;
又∵∠ASP=∠BTP=90°,AP=BP,
∴△APS≌△BPT,
∴PS=PT(全等三角形的对应边相等)
∴点P在∠MON的平分线上;
(3)①∵OP平分∠AOB,∠AOB=60°,OP⊥AB,
∴AQ=BQ=
1 |
2 |
3 |
∴OQ=
AQ |
tan30° |
同理:PQ=
AQ |
tan60° |
∴OP=8,
∵点C,D,E,F分别是四边形AOBP的边AO,OB,BP,PA的中点,
∴CD=EF=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴四边形CDEF的周长为:8+4
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②CD和EF是△ABO和△ABP的中位线,
则CD=EF=
1 |
2 |
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CF和DE分别是△AOP和△BOP的中位线,则CF=DE=
1 |
2 |
当AB⊥OP时,OP为四点边形AOBP外接圆的直径时,OP最大,其值是8,OP一定大于当点A或B与点O重合时的长度是4.
则4+4
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