（2014•湖州）如图，已知正方形ABCD，点E是边AB的中点，点O是线段AE上的一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作⊙O的切线交DC于点N，连接OM、ON、BM、B

Question

（2014•湖州）如图，已知正方形ABCD，点E是边AB的中点，点O是线段AE上的一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作⊙O的切线交DC于点N，连接OM、ON、BM、BN．记△MNO、△AOM、△DMN的面积分别为S₁、S₂、S₃，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．S₁＞S₂+S₃
B．△AOM∽△DMN
C．∠MBN=45°
D．MN=AM+CN

Answer 1

（1）如图，作MP∥AO交ON于点P，

∵点O是线段AE上的一个动点，当AM=MD时，
S_梯形ONDA=(1)/(2)（OA+DN）•AD
S_△MNO=S_△MOP+S_△MPN=(1)/(2)MP•AM+(1)/(2)MP•MD=(1)/(2)MP•AD，
∵(1)/(2)（OA+DN）=MP，
∴S_△MNO=(1)/(2)S_梯形ONDA，
∴S₁=S₂+S₃，
∴不一定有S₁＞S₂+S₃，
（2）∵MN是⊙O的切线，
∴OM⊥MN，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠D=90°，∠AMO+∠DMN=90°，∠AMO+∠AOM=90°，
∴∠AOM=∠DMN，
在△AMO和△DMN中，

∠A＝∠D

∠AOM＝∠DMN

，
∴△AOM∽△DMN．
故B成立；
（3）如图，作BP⊥MN于点P，

∵MN，BC是⊙O的切线，
∴∠PMB=(1)/(2)∠MOB，∠CBM=(1)/(2)∠MOB，
∵AD∥BC，
∴∠CBM=∠AMB，
∴∠AMB=∠PMB，
在Rt△MAB和Rt△MPB中，

∠BPM＝∠BAM

∠PMB＝∠AMB

BM＝BM

∴Rt△MAB≌Rt△MPB（AAS）
∴AM=MP，∠ABM=∠MBP，BP=AB=BC，
在Rt△BPN和Rt△BCN中，

BP＝BC

BN＝BN

∴Rt△BPN≌Rt△BCN（HL）
∴PN=CN，∠PBN=∠CBN，
∴∠MBN=∠MBP+∠PBN，
MN=MN+PN=AM+CN．
故C，D成立，
综上所述，A不一定成立，
故选：A．