将两个大小不同的等腰直角三角形按如图（1）所示的方式放置，A，O，C在同一条直线上，O，B，D在同一条直线上，OA=OB，OC=OD．∠AOB=∠COD=90°，将等腰直角三角形AOB绕点O顺时针旋转（旋转角

Question

将两个大小不同的等腰直角三角形按如图（1）所示的方式放置，A，O，C在同一条直线上，O，B，D在同一条直线上，OA=OB，OC=OD．∠AOB=∠COD=90°，将等腰直角三角形AOB绕点O顺时针旋转（旋转角为α，0°<α<45°）得△EOF，使点B的对应点F落在CD边上，如图（2），连接ED，已知OD=2+2√(3)，DF=2√(2)，试解答下面问题：
（1）求证：DE²+DF²=EF²；
（2）求α的度数．（提示：在直角三角形中，一直角边的长等于斜边长的一半时，该直角边所对的角为30°）

Answer 1

（1）∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，
∴∠BAO=∠ODC=∠ABO=∠C=45°，
∵将等腰直角三角形AOB绕点O顺时针旋转（旋转角为α，0°<α<45°）得△EOF，
∴∠FEO=45°，
∴∠OEF=∠ODC，
∴D，E，F，O四点共圆，
∴∠EDF+∠EOF=180°，
∴∠EDF=90°，
∴DE²+DF²=EF²；

（2）∵OD=2+2√(3)，
∴CD=2√(2)+2√(6)，
∵DF=2√(2)，
∴CF=2√(6)，
∵∠EOF=∠COD=90°，
∴∠DOE=∠FOC，
在△DOE与△COF中，

OE=OF

∠DOE=∠COF

OD=OC

，
∴△DOE≌△COF，
∴DE=CF=2√(6)，
∵tan∠DEF=(DF)/(DE)=(2√(2))/(2√(6))=(√(3))/(3)，
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