如图，OP平分∠AOD，B、C分别是OA、OD上的点，且OB≠OC，AB=CD，PC=AP，则下列结论中一定成立的个数有（）①S△ABP=S△PCD；②OP=BP；③∠AOD+∠APC=180°；④AO+OC=2OB．A.1个B.2个C.3个D.4个

Question

如图，OP平分∠AOD，B、C分别是OA、OD上的点，且OB≠OC，AB=CD，PC=AP，则下列结论中一定成立的个数有（　　）
①S_△ABP=S_△PCD；②OP=BP；③∠AOD+∠APC=180°；④AO+OC=2OB．

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

Answer 1

过P作PM⊥OA于M，作PN⊥OD于N，在OA上截取OE=OC，连接PE，
∵OP平分∠AOD，
∴PM=PN，
由勾股定理得：OM=ON，
∵AB=CD，
∴S_△PAB=S_△PCD，∴①正确；
∵根据已知不能推出OM和BM的大小，
∴OP和PB不一定相等，∴②错误；
∵PM⊥OA，PN⊥OD，
∴∠PNC=∠OMA=90°，
在Rt△PMA和Rt△PNC中

PA=PC

PM=PN

∴Rt△PMA≌Rt△PNC，
∴∠CPN=∠APM，
∵∠PMO+∠PNO=90°+90°=180°，
∴∠AOD+∠MPN=360°-180°=180°，
∴∠AOD+∠APC=180°，∴③正确；
∵在△EOP和△COP中

OP=OP

∠EOP=∠COP

OE=OC

∴△EOP≌△COP，
∴PE=PC，
∵PC=PA，
∴PA=PE，
∵PM⊥OA，
∴AM=EM，
∴OA+OC=OB+AB+OE=2OB，∴④正确；
即正确的有3个，
故选C．