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某学生在观察正整数的前n项平方和公式即12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6,n∈N*时发现它的和为关于n的三次函数,于是他猜想:是否存在常数a,b,1•22+2•32+…+n(n+1)2=
题目详情
某学生在观察正整数的前n项平方和公式即1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =
(1)若n=1,2时猜想成立,求实数a,b的值. (2)若该同学的猜想成立,请你用数学归纳法证明.若不成立,说明理由. |
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)若n=1,2时猜想成立, 假设存在符合题意的常数a,b, 在等式1•2 2 +2•3 2 ++n(n+1) 2 =
令n=1,得4=
令n=2,得22=2(2a+b)② 由①②解得a=3,b=5, (2)于是,对于对于一切正整数n猜想都有 1•2 2 +2•3 2 ++n(n+1) 2 =
下面用数学归纳法证明:对于一切正整数n,(*)式都成立. (1)当n=1时,由上述知,(*)成立. (2)假设n=k(k≥1)时,(*)成立, 即1•2 2 +2•3 2 ++k(k+1) 2 =
那么当n=k+1时, 1•2 2 +2•3 2 ++k(k+1) 2 +(k+1)(k+2) 2 =
=
=
由此可知,当n=k+1时,(*)式也成立. 综上所述,当a=3,b=5时题设的等式对于一切正整数n都成立. |
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