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大一微积分1.求f(x)=(1-x)/(1+x)在x=0处带拉格朗日余项的n阶泰勒展开式(书上有迈克劳林公式:(1+x)^α=1+αX+α(α-1)/2!*x^α+...+α(α-1)...(α-n+1)/n!*x^n+o(x^n)但是我不知道怎么样代入)2.求∫arctanX/(
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大一微积分
1.求f(x)=(1-x)/(1+x)在x=0处带拉格朗日余项的n阶泰勒展开式
(书上有迈克劳林公式:(1+x)^α=1+αX+α(α-1)/2!*x^α+...+α(α-1)...(α-n+1)/n!*x^n+o(x^n) 但是我不知道怎么样代入)
2.求∫arctanX/(x^2*(1+x^2))
3.在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的第一象限部分上求点p,使在该点切线、椭圆及两坐标轴围成的面积最小(a,b为正数)
1.求f(x)=(1-x)/(1+x)在x=0处带拉格朗日余项的n阶泰勒展开式
(书上有迈克劳林公式:(1+x)^α=1+αX+α(α-1)/2!*x^α+...+α(α-1)...(α-n+1)/n!*x^n+o(x^n) 但是我不知道怎么样代入)
2.求∫arctanX/(x^2*(1+x^2))
3.在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的第一象限部分上求点p,使在该点切线、椭圆及两坐标轴围成的面积最小(a,b为正数)
▼优质解答
答案和解析
1、先求1/(1+x)=(1+x)^(-1)=1-x+x^2-x^3+...+(-1)^nx^n+(-1)^(n+1)*ξ^n,其中ξ在0与x之间
如果不会代,就把上面这个式子作为一个公式记住,这个式子本身也是十分重要的.
f(x)=(1-x-1+1)/(1+x)=2/(1+x)-1
=2(1-x+x^2-x^3+...+(-1)^nx^n+(-1)^(n+1)*ξ^n)-1
=1-2x+2x^2-2x^3+...+(-1)^n2x^n+(-1)^(n+1)*2ξ^n 其中ξ在0与x之间
2、∫arctanX/(x^2*(1+x^2)) dx
=∫arctanx/x^2 dx-∫arctanx/(1+x^2) dx
=-∫arctanx d(1/x)-∫arctanx d(arctanx)
=-1/xarctanx+∫(1/x)*1/(1+x^2) dx-(1/2)(arctanx)^2
下面计算中间这个积分
∫1/[x(1+x^2)] dx
先拆项:1/[x(1+x^2)]=A/x+(Bx+C)/(1+x^2),相加比较系数后得:A=1,B=-1,C=0
则∫1/[x(1+x^2)] dx=∫1/x dx-∫x/(1+x^2) dx
=ln|x|-1/2∫1/(1+x^2) d(x^2)
=ln|x|-ln(1+x^2)+C
代回原式得:原式=-1/xarctanx+ln|x|-ln(1+x^2)-(1/2)(arctanx)^2+C
3、注意到,所求面积=三角形面积分-四分之一椭圆面积
而那个“四分之一椭圆面积”是不会变的,因此本题就是求三角形面积的最小值.
设P点坐标为(u,v),先求该点处切线斜率:椭圆两边求导2x/a^2+2yy'/b^2=0
将(u,v)代入得:y'=-(b^2u)/(a^2v)
切线方程为:y-v=-(b^2u)/(a^2v)*(x-u)
切线与x轴交点为:(a^2v^2+b^2u^2)/(b^2u)
切线与y轴交点为:(a^2v^2+b^2u^2)/(a^2v)
注意,u,v是满足椭圆方程的,由椭圆方程知:a^2v^2+b^2u^2=a^2b^2,则
切线与x轴交点为:a^2/u
切线与y轴交点为:b^2/v
则三角形面积为:(1/2)*(a^2b^2)/(uv)
求其最小值点,相当于求uv的最大值点
本题转化为求uv的最大值,且u,v满足u^2/a^2+v^2/b^2=1
用拉格朗日乘数法
设F(u,v,λ)=uv+λ(u^2/a^2+v^2/b^2-1)
Fu=v+2λu/a^2=0
Fv=u+2λv/b^2=0
u^2/a^2+v^2/b^2-1=0
解得:u^2/a^2=v^2/b^2
得:u=a/√2,v=b/√2
如果不会代,就把上面这个式子作为一个公式记住,这个式子本身也是十分重要的.
f(x)=(1-x-1+1)/(1+x)=2/(1+x)-1
=2(1-x+x^2-x^3+...+(-1)^nx^n+(-1)^(n+1)*ξ^n)-1
=1-2x+2x^2-2x^3+...+(-1)^n2x^n+(-1)^(n+1)*2ξ^n 其中ξ在0与x之间
2、∫arctanX/(x^2*(1+x^2)) dx
=∫arctanx/x^2 dx-∫arctanx/(1+x^2) dx
=-∫arctanx d(1/x)-∫arctanx d(arctanx)
=-1/xarctanx+∫(1/x)*1/(1+x^2) dx-(1/2)(arctanx)^2
下面计算中间这个积分
∫1/[x(1+x^2)] dx
先拆项:1/[x(1+x^2)]=A/x+(Bx+C)/(1+x^2),相加比较系数后得:A=1,B=-1,C=0
则∫1/[x(1+x^2)] dx=∫1/x dx-∫x/(1+x^2) dx
=ln|x|-1/2∫1/(1+x^2) d(x^2)
=ln|x|-ln(1+x^2)+C
代回原式得:原式=-1/xarctanx+ln|x|-ln(1+x^2)-(1/2)(arctanx)^2+C
3、注意到,所求面积=三角形面积分-四分之一椭圆面积
而那个“四分之一椭圆面积”是不会变的,因此本题就是求三角形面积的最小值.
设P点坐标为(u,v),先求该点处切线斜率:椭圆两边求导2x/a^2+2yy'/b^2=0
将(u,v)代入得:y'=-(b^2u)/(a^2v)
切线方程为:y-v=-(b^2u)/(a^2v)*(x-u)
切线与x轴交点为:(a^2v^2+b^2u^2)/(b^2u)
切线与y轴交点为:(a^2v^2+b^2u^2)/(a^2v)
注意,u,v是满足椭圆方程的,由椭圆方程知:a^2v^2+b^2u^2=a^2b^2,则
切线与x轴交点为:a^2/u
切线与y轴交点为:b^2/v
则三角形面积为:(1/2)*(a^2b^2)/(uv)
求其最小值点,相当于求uv的最大值点
本题转化为求uv的最大值,且u,v满足u^2/a^2+v^2/b^2=1
用拉格朗日乘数法
设F(u,v,λ)=uv+λ(u^2/a^2+v^2/b^2-1)
Fu=v+2λu/a^2=0
Fv=u+2λv/b^2=0
u^2/a^2+v^2/b^2-1=0
解得:u^2/a^2=v^2/b^2
得:u=a/√2,v=b/√2
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