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已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a>0,证明:当0<x<时,f>f;(3)若函数y=f(x)的图象与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明f′(x0)<0.
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已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x (1)讨论f(x)的单调性;(2)设a>0,证明:当0<x< 时,f >f ; (3)若函数y=f(x)的图象与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明f′(x0)<0. |
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答案和解析
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= -2ax+(2-a)= …1分 ①若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)单调递增.…………2分 ②若a>0,则由f′(x)=0得x= ,且当x∈(0, )时,f′(x)>0,当x> 时, f′(x)<0.所以f(x)在(0, )单调递增 ,在( , )单调递减.…………4分 (2)设函数g(x)=f -f ,则g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax, g′(x)= + -2a …………………………6分 当0<x< 时,g′(x)>0,…………7分 而g(0)=0,所以g(x)>0. 故当0<x< 时,f >f . …………………………9分 (3)当a≤0时,函数y=f(x)的图象与x轴至多有一 个交点,故a>0,…………10分 从而f(x)的最大值为 ,且 .…………………………11分 不妨设 ,则 . 由(2)得 ,而f(x)在( , )单调递减. ∴ ……14分于是 .由(1)知, .…………15分 |
略 |
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