已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，且0＜q＜.(1)在数列{an}中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；(2)若a1＝1，且对任意正整数k，ak－(ak＋1＋ak＋2)仍是该数列

Question

已知各项均为正数的等比数列{a _n }的公比为q，且0＜q＜ .
(1)在数列{a _n }中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；
(2)若a ₁ ＝1，且对任意正整数k，a _k －(a _{k ＋1} ＋a _{k ＋2} )仍是该数列中的某一项．
(ⅰ)求公比q；
(ⅱ)若b _n ＝－loga _{n ＋1} ( ＋1)，S _n ＝b ₁ ＋b ₂ ＋…＋b _n ，T _r ＝S ₁ ＋S ₂ ＋…＋S _n ，试用S ₂₀₁₁ 表示T ₂₀₁₁ .

Answer 1

（1）不可能（2）(ⅰ)q＝ －1(ⅱ)T ₂₀₁₁ ＝2012S ₂₀₁₁ －2011

(1)由条件知a _n ＝a ₁ q ^{n －1} ，0＜q＜ ，a ₁ ＞0，所以数列{a _n }是递减数列．若有a _k ，a _m ，a _n (k＜m＜n)成等差数列，则中项不可能是a _k (最大)，也不可能是a _n (最小)，
若2a _m ＝a _k ＋a _n 2q ^{m －k} ＝1＋q ^{n －k} ，(*)
由2q ^{m －k} ≤2q＜1，1＋q ^{h －k} ＞1，知(*)式不成立，
故a _k ，a _m ，a _n 不可能成等差数列．
(2)(ⅰ)(解法1)a _k －a _{k ＋1} －a _{k ＋2} ＝a ₁ q ^{k －1} (1－q－q ² )＝a ₁ q ^{k －1} ，
由 ∈ ，知a _k －a _{k ＋1} －a _{k ＋2} ＜a _k ＜a _{k －1} ＜…，
且a _k －a _{k ＋1} －a _{k ＋2} ＞a _{k ＋2} ＞a _{k ＋3} ＞…，
所以a _k －a _{k ＋1} －a _{k ＋2} ＝a _{k ＋1} ，即q ² ＋2q－1＝0，
所以q＝ －1.
(解法2)设a _k －a _{k ＋1} －a _{k ＋2} ＝a _m ，则1－q－q ² ＝q ^{m －k} ，
由1－q－q ² ∈ 知m－k＝1，即m＝k＋1，
以下同解法1.
(ⅱ)b _n ＝ ，
(解法1)S _n ＝1＋ ＋ ＋…＋ ，
T _n ＝1＋ ＋ ＋…＋
＝n＋ ＝n －
＝nS _n －[(1－ )＋(1－ )＋(1－ )＋…＋(1－ )]
＝nS _n － ＝nS _n －
＝nS _n －n＋S _n ＝(n＋1)S _n －n，所以T ₂₀₁₁ ＝2012S ₂₀₁₁ －2011.
(解法2)S _{n ＋1} ＝1＋ ＝S _n ＋ ，所以(n＋1)S _{n ＋1} －(n＋1)S _n ＝1，
所以(n＋1)S _{n ＋1} －nS _n ＝S _n ＋1，2S ₂ －S ₁ ＝S ₁ ＋1，3S ₃ －2S ₂ ＝S ₂ ＋1，……
(n＋1)S _{n ＋1} －nS _n ＝S _n ＋1，累加得(n＋1)S _{n ＋1} －S ₁ ＝T _n ＋n，
所以T _n ＝(n＋1)S _{n ＋1} －1－n＝(n＋1)S _n －n＝(n＋1)(S _n ＋b _n )－1－n
＝(n＋1) －1－n＝(n＋1)S _n －n，
所以T ₂₀₁₁ ＝2012S ₂₀₁₁ －2011