鸡兔同笼的公式是怎么推导出来的?解法1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数总只数－鸡的只数=兔的只数解法2：（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚

Question

鸡兔同笼的公式是怎么推导出来的?
解法1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）
=鸡的只数
总只数－鸡的只数=兔的只数
解法2：（ 总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）
=兔的只数
总只数－兔的只数=鸡的只数
解法3：总脚数÷2—总头数=兔的只数
总只数—兔的只数=鸡的只数

Answer 1

英国数学教育家贝克浩斯（Backhousl）在研究“问题解决”时首先提到的是中国古算题,凮其中包括鸡兔同笼问题、100个和尚买100个馒头问题等.凌解这些问题需要想象,凋解者在其情景中有明确的且力所能及的目的,刔但缺少现成的方法达到此目的,则因此常常作为夜航船中或纳凉赏月时的一种试智比知式考问的备办学问,凗一代一代传下来,凞还传到世界各地,凳鸡兔问题传到日本叫龟鹤问题.凲明代作家张岱曾说：“天下学问,刘惟夜航船中最难对付”.凿又到纳凉的季节,凴老公公们要用这些问题来试试儿孙辈的学问怎样?有位小朋友听了老公公提出的问题,凉觉得难度不大,刋便满怀信心地对老公公说：慢点,凒让我打开灯,凛拿纸和笔.刧老公公讲不用笔就不可以算吗?这一下,刡许多小朋友都被难住了.删显然老公公解这些难题的技巧肯定不同凡响,凑那么老公公是怎样解这些问题的呢?我们先举个例子说说.凊
一、鸡兔同笼问题
例1 笼中有若干只鸡和兔,凣它们共有50个头和140只脚,列问鸡兔各有多少只?
解法1 假设法
假设一个未知数是已知的,凇比如假定50个头全是兔,别则共有脚（4×50=）200（只）,刖这与题中已知140只不符,函多出（200-140=）60（只）,出多的原因是鸡当兔后每只鸡多算了2只脚,冻所以鸡的只数是（60÷2=）30（只）,几则兔的只数为（50-30＝）20（只）.刈
这种解法,凭思路清晰,刧但较复杂,刢不便操作.凛能不能形象地画个图呢?让我们试试.凘
解法2 图形法
从图中看ACDF的面积＝4×50＝200（只脚）,凢 比实际多出 GHEF的面积＝200-140＝60（只脚）,凊 AB=GH=60÷2=30（只鸡）,减 BC=AC-AB=50-30＝20（只兔）
解法2比解法1高级,刨算理是一样的.刏这里答案是图上算出的,凛显然这两种解法都要用纸和笔.刄不用纸和笔肯定是用口诀或易记的公式,凩这是老公公的传家宝.刢
解法3 公式法
老公公讲：只要用哨子一吹,凘并喊一声口令：“全体肃立”.凑这时每只鸡呈金鸡独立之状,刎每只兔呈玉兔拜月状,凤着地的脚数之和有（140÷2＝）70（只）,凥其中鸡的头数与脚数相等,冻由于每只兔的脚比头数多1,凐因此兔的头数为（70－50＝）20（个）,凯即兔有20只,凙则鸡有（50－20＝）30（只）.凞这个故事实际上老公公用了如下的公式.刧
脚数和÷2-头数和=兔子数.刦
小孙子们听了兴趣为之大增,凨纷纷叫老公公再出几道题.凿老公公又出了
（1）30个头,凶80只脚…….凝（兔10,凥鸡20）.凴
（2）100只脚,凫40个头…….刉（兔10,凡鸡30）.凙
（3）80个头,凮200只脚…….凭（兔20,凖鸡60）
小孙子们个个都愉快地答出来了.凿
这个公式简洁好用,凤它是祖代传下来的还是老公公想出来的呢?我们中华文化博大精深,刚这两种可能性都是有的.凡这个公式是碰巧做对还是符合算理的呢?这是十分重要的.创数学家高斯说过：“数学中许多方法与定理是靠归纳发现的,凌证明只是补行的手续而已.刦”现在我们就来补行这个手续.凨


2鸡头=鸡脚.刁
4兔头=兔脚.刖
得：兔脚+鸡脚=2鸡头+4兔头
=2（鸡头+2兔头）.凢

这就证明了老公公归纳的公式.刓
说到鸡兔同笼问题,凩常常大家精神就紧张起来,凎以为是难题来了.凷现在掌握了规律其实不难,凉所以凡事都应去摸索规律,刃照规律办事.刘
鸡兔同笼问题在民间是当故事讲的,刑有没有实际价值呢?我们再来看下面的问题.凤
二、邮票问题
例2 买3角与5角的邮票共24张,凓总值9.6元,凫问两种邮票各买了几张?
解这道题当然可以用假设法和图形法,刢但用什么样的公式呢?美国数学教育家C·波利亚说：“……不论初等数学、高等数学中的发现……特别是不能没有类比.刌”用类比很容易发现这个公式是：邮
设3角邮票为A1张,凇价值A2角；
5角邮票为B1张,刄价值B2角.凬

说明数量关系与鸡兔同笼问题相一致.列
又3A1=A2,凬5B1=B2.删
得：A2＋B2＝3A1+5B1,刣

这就与例1的公式相类似,列很容易将这个公式翻译成语言陈述,凿大家试
（24－12＝）12（张）.别
如果你认为这个公式不太好记,刌就不妨用图来解.刍
（24×5－96）÷2=12（张、3角）
24-12＝12
所以解题方法的选用常常是根据具体情况而定的.函
再试试
（1）6角与8角的邮票共18张,刁总价12.4元,凨问两种邮票各几张?（10,凣8）
（2）3角与8角的邮票共100张,刀总价50元,函问两种邮票各几张?（60,凣40）
三、植树问题
例3 一次植树活动,凋规定大树每人种2棵,刖小树每人种4棵,凘全班50人种树140棵,刍问种这两种树的各有多少人?
这道题可用例1的公式很快解得种大树的有30人,凫种小树的有20人.凓
四、运输（工作）问题
例4 有小卡车50辆,凹大卡车每辆运4吨,凡小卡车每辆运2吨,刑共运140吨化肥,刊问大小卡车各几辆?
难道不是题目看完答案就出来了吗?
五、农药问题
例5 甲种农药每千克兑水20千克,凛乙种农药每千克兑水40千克,净现为了提高药效,刨根据农科所意见,刃甲乙两种农药混合使用,凗已知两种农药共50千克,凮要配药水140千克,凩问甲、乙两种农药各需多少千克?
用公式解很简单（30,刣20）,冻如果将这个公式交给农民,凼那么他们配起农药来就既方便又正确,凥你能想出这个公式是什么吗?
还会遇到许多许多的问题,凫它们的数量关系（应用题的本质）与鸡兔同笼问题相一致,刓都可以用鸡兔同笼问题的三种方法来解,凤这些问题我们将它们统称为鸡兔同笼问题.删
相传大禹治水到黄河,凥发现一只神龟,凊背上驮了一张图叫河图（洛书）.凳（左图）,刅用阿拉伯数字表示就是右图,凾图中三条竖线、三条横线、二条对角线共八条线上三个数的和都是15,减这样的图是怎样造出来的呢?其法一时失传了,刚于是有人用它来占卜、相风水,凡进入迷信状态.几后来数学家发现其原理是二进制,凋说明二进制是中国人最先发明的,凴近代根据二进制发明了计算机,凝所以有些基础科学的研究成果一时看起来无多大用途,删以后渐渐会发现有大用途,凴鸡兔同笼问题不也是这样吗?因此我们一定要重视基础科学的学习和研究