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如图,在直角坐标系中,以点A(,0)为圆心,以为半径的圆与x轴交于B、C两点,与y轴交于D、E两点.(1)求D点坐标.(2)若B、C、D三点在抛物线y=ax2+bx+c上,求这个抛物线的解析式.(3)
题目详情
如图,在直角坐标系中,以点A(,0)为圆心,以为半径的圆与x轴交于B、C两点,与y轴交于D、E两点.
(1)求D点坐标.
(2)若B、C、D三点在抛物线y=ax2+bx+c上,求这个抛物线的解析式.
(3)若⊙A的切线交x轴正半轴于点M,交y轴负半轴于点N,切点为P,∠OMN=30°,试判断直线MN是否经过所求抛物线的顶点?说明理由.
(1)求D点坐标.
(2)若B、C、D三点在抛物线y=ax2+bx+c上,求这个抛物线的解析式.
(3)若⊙A的切线交x轴正半轴于点M,交y轴负半轴于点N,切点为P,∠OMN=30°,试判断直线MN是否经过所求抛物线的顶点?说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)连接AD,构造直角三角形解答,在直角△ADO中,OA=,AD=2,根据勾股定理就可以求出AD的长,求出D的坐标.
(2)求出B、C、D的坐标,用待定系数法设出一般式解答;
(3)求出抛物线交点坐标,连接AP,则△APM是直角三角形,且AP等于圆的半径,根据三角函数就可以求出AM的长,已知OA,就可以得到OM,则M点的坐标可以求出;同理可以在直角△BNM中,根据三角函数求出BN的长,求出N的坐标,根据待定系数法就可以求出直线MN的解析式.将交点坐标代入直线解析式验证即可.
【解析】
(1)连接AD,得
OA=,AD=2
∴OD===3
∴D(0,-3).
(2)由B(-,0),C(3,0),D(0,-3)三点在抛物线y=ax2+bx+c上,
得,
解得
∴抛物线为.
(3)连接AP,在Rt△APM中,∠PMA=30°,AP=2
∴AM=4
∴M(5,0)
∵
∴N(0,-5)
设直线MN的解析式为y=kx+b,由于点M(5,0)和N(0,-5)在直线MN上,
则,
解得
∴直线MN的解析式为
∵抛物线的顶点坐标为(,-4),
当x=时,y=
∴点(,-4)在直线上,
即直线MN经过抛物线的顶点.
(2)求出B、C、D的坐标,用待定系数法设出一般式解答;
(3)求出抛物线交点坐标,连接AP,则△APM是直角三角形,且AP等于圆的半径,根据三角函数就可以求出AM的长,已知OA,就可以得到OM,则M点的坐标可以求出;同理可以在直角△BNM中,根据三角函数求出BN的长,求出N的坐标,根据待定系数法就可以求出直线MN的解析式.将交点坐标代入直线解析式验证即可.
【解析】
(1)连接AD,得
OA=,AD=2
∴OD===3
∴D(0,-3).
(2)由B(-,0),C(3,0),D(0,-3)三点在抛物线y=ax2+bx+c上,
得,
解得
∴抛物线为.
(3)连接AP,在Rt△APM中,∠PMA=30°,AP=2
∴AM=4
∴M(5,0)
∵
∴N(0,-5)
设直线MN的解析式为y=kx+b,由于点M(5,0)和N(0,-5)在直线MN上,
则,
解得
∴直线MN的解析式为
∵抛物线的顶点坐标为(,-4),
当x=时,y=
∴点(,-4)在直线上,
即直线MN经过抛物线的顶点.
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