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如图,从点作x轴的垂线交曲线于点,曲线在点处的切线与x轴交于点P(2),再从作x轴的垂线交曲线于点,依次重复上述过程得到一系列点:,;,…;,,记点的坐标为(k=1,2,…,n).(Ⅰ)
题目详情
如图,从点作x轴的垂线交曲线于点,曲线在点处的切线与x轴交于点P_(2),再从作x轴的垂线交曲线于点,依次重复上述过程得到一系列点:,;,…;,,记点的坐标为(k=1,2,…,n).
(Ⅰ)试求与的关系(2≤k≤n)
(Ⅱ)求+…
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(Ⅰ)试求与的关系(2≤k≤n)
(Ⅱ)求+…
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▼优质解答
答案和解析
【分析】(I)设出Pk-1的坐标,求出Qk-1,利用导数的几何意义函数在切点处的导数值是曲线的曲线的斜率,利用点斜式求出切线方程,令y=0得到xk与xk+1的关系.
(II)求出|PkQk|的表达式,利用等比数列的前n项和公式求出和.
(II)求出|PkQk|的表达式,利用等比数列的前n项和公式求出和.
(Ⅰ)设Pk-1(xk-1,0),则,
又y′=ex,
所以点Qk-1处切线方程为
由y=0得xk=xk-1-1(2≤k≤n).
(Ⅱ)x1=0,xk-xk-1=-1,得xk=-(k-1),
,
Sn=|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|
.
又y′=ex,
所以点Qk-1处切线方程为
由y=0得xk=xk-1-1(2≤k≤n).
(Ⅱ)x1=0,xk-xk-1=-1,得xk=-(k-1),
,
Sn=|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|
.
【点评】本题考查导数的几何意义:函数在切点处的导数值是曲线的曲线的斜率、考查等比数列的前n项和公式求出和.
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