设α1,α2,…,αr是一组线性无关的向量,且βi=∑(j=1,2,…,r)aij*αj,i=1,2,…,r,证明β1,β2,…,βr线性无关的充分必要条件是|a11a12…a1r||a21a22…a2r|≠0|…………||ar1ar2…arr|记A=(aji)则(β1,..

Question

设α1,α2,…,αr是一组线性无关的向量,且βi=∑(j=1,2,…,r) aij*αj,i=1,2,…,r,证明β1,β2,…,βr线性无关的充分必要条件是
|a11 a12 … a1r|
|a21 a22 … a2r| ≠0
| … … … … |
|ar1 ar2 … arr |
记 A = (aji)
则 (β1,...,βr) = (α1,α2,…,αr) A
由于 α1,α2,…,αr 线性无关,所以 (α1,α2,…,αr)Ax=0 与 Ax=0
所以
β1,...,βr 线性无关
(β1,...,βr)x=0 只有零解
(α1,α2,…,αr)Ax=0 只有零解
Ax=0 只有零解
|A|≠0
|A^T|≠0 (即所证行列式不等于0)
里面的所以β1,...,βr 线性无关怎么来的0.0.学渣不懂

Answer 1

β1,...,βr 线性无关
(β1,...,βr)x=0 只有零解 -- 这个充要条件是定理
(α1,α2,…,αr)Ax=0 只有零解 -- 这是由上面的等式所得
Ax=0 只有零解 -- 这是因为已知条件 α1,α2,…,αr 线性无关
|A|≠0 -- 定理
|A^T|≠0 (即所证行列式不等于0) -- 这个显然
好好看看书,总结一下吧