已知：如图，直线与x轴相交于点A，与直线相交于点P。（1）求点P的坐标；（2）请判断△OPA的形状并说明理由；（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路

Question

已知：如图，直线 与x轴相交于点A，与直线 相交于点P。

（1）求点P的坐标；
（2）请判断△OPA的形状并说明理由；
（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B，设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S。
求：①S与t之间的函数关系式；
②当t为何值时，S最大，并求S的最大值。

Answer 1

（1） ，解得 ， ∴点P的坐标为（2， ）； （2）将y=0代入 ， ∴ ， ∴x=4，即OA=4， 做PD⊥OA于D，则OD=2，PD=2 ， ∵tan∠POA= ， ∴∠POA=60°， ∵OP= ， ∴△POA是等边三角形； （3）①当0<t≤4时，如图1， 在Rt△EOF中，∵∠EOF=60°，OE=t， ∴EF= ，OF= t， ∴S= ·OF·EF= ， 当4<t<8时，如图2， 设EB与OP相交于点C， 易知：CE=PE=t-4，AE=8-t， ∴AF=4- t，EF= （8-t）， ∴OF=OA-AF=4-（4- t）= t， ∴S= （CE+OF）·EF = （t-4+ t）× （8-t）= ； ②当0<t≤ 4时， ，t=4时， ∴当t=时， ， 当4<t<8时， ， 时， ， ∵ ， ∴当 时， 。