如图,在菱形ABCD中,AB=BD,点E、F分别是AB、AD上任意的点(不与端点重合),且AE=DF,连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H.给出如下几个结论:①△AED≌△DFB;②S四边形BCDG=32CG2;③
如图,在菱形ABCD中,AB=BD,点E、F分别是AB、AD上任意的点(不与端点重合),且AE=DF,连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H.给出如下几个结论:
①△AED≌△DFB;②S四边形BCDG=
CG2;③若AF=2DF,则BG=6GF;④CG与BD一定不垂直;⑤∠BGE的大小为定值.3 2
其中正确的结论个数为( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
∵AB=BD,∴△ABD为等边三角形,
∴∠A=∠BDF=60°,
又∵AE=DF,AD=BD,
∴△AED≌△DFB,故本选项正确;
②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD,
即∠BGD+∠BCD=180°,
∴点B、C、D、G四点共圆,
∴∠BGC=∠BDC=60°,∠DGC=∠DBC=60°,
∴∠BGC=∠DGC=60°,
过点C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N(如图1),
则△CBM≌△CDN(AAS),
∴S四边形BCDG=S四边形CMGN,
S四边形CMGN=2S△CMG,
∵∠CGM=60°,
∴GM=
1 |
2 |
| ||
2 |
∴S四边形CMGN=2S△CMG=2×
1 |
2 |
1 |
2 |
| ||
2 |
| ||
4 |
③过点F作FP∥AE交DE于P点(如图2),
∵AF=2FD,
∴FP:AE=DF:DA=1:3,
∵AE=DF,AB=AD,
∴BE=2AE,
∴FP:BE=FP:2AE=1:6,
∵FP∥AE,
∴PF∥BE,
∴FG:BG=FP:BE=1:6,
即BG=6GF,故本选项正确;
④当点E,F分别是AB,AD中点时(如图3),
由(1)知,△ABD,△BDC为等边三角形,
∵点E,F分别是AB,AD中点,
∴∠BDE=∠DBG=30°,
∴DG=BG,
在△GDC与△BGC中,
|
∴△GDC≌△BGC,
∴∠DCG=∠BCG,
∴CH⊥BD,即CG⊥BD,故本选项错误;
⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°,为定值,
故本选项正确;
综上所述,正确的结论有①③⑤,共3个,
故选B.
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