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如图,等边△ABC中,AO是∠BAC的角平分线,D为AO上一点,以CD为一边且在CD下方作等边△CDE,连接BE.(1)求证:△ACD≌△BCE;(2)延长BE至Q,P为BQ上一点,连接CP、CQ使CP=CQ=5,若BC=8时,求PQ
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如图,等边△ABC中,AO是∠BAC的角平分线,D为AO上一点,以CD为一边且在CD下方作等边△CDE,连接BE.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/80cb39dbb6fd5266298be9a5a818972bd50736db.jpg)
(1)求证:△ACD≌△BCE;
(2)延长BE至Q,P为BQ上一点,连接CP、CQ使CP=CQ=5,若BC=8时,求PQ的长.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/80cb39dbb6fd5266298be9a5a818972bd50736db.jpg)
(1)求证:△ACD≌△BCE;
(2)延长BE至Q,P为BQ上一点,连接CP、CQ使CP=CQ=5,若BC=8时,求PQ的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵△ABC与△DCE是等边三角形,
∴AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°,
∴∠ACD=∠BCE,
∴△ACD≌△BCE(SAS);
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5366d0160924ab186bb6348636fae6cd7a890bdb.jpg)
(2)过点C作CH⊥BQ于H,
∵△ABC是等边三角形,AO是角平分线,
∴∠DAC=30°,
∵△ACD≌△BCE,
∴∠PBC=∠DAC=30°,
∴在Rt△BHC中,CH=
BC=
×8=4,
∵PC=CQ=5,CH=4,
∴PH=QH=3,
∴PQ=6.
∴AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°,
∴∠ACD=∠BCE,
∴△ACD≌△BCE(SAS);
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5366d0160924ab186bb6348636fae6cd7a890bdb.jpg)
(2)过点C作CH⊥BQ于H,
∵△ABC是等边三角形,AO是角平分线,
∴∠DAC=30°,
∵△ACD≌△BCE,
∴∠PBC=∠DAC=30°,
∴在Rt△BHC中,CH=
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∵PC=CQ=5,CH=4,
∴PH=QH=3,
∴PQ=6.
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