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已知椭圆E:的离心率为,且过点,设椭圆的右准线l与x轴的交点为A,椭圆的上顶点为B,直线AB被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为.(1)求椭圆E的方程及圆O的方程;(2)若M
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已知椭圆E: 的离心率为 ,且过点 ,设椭圆的右准线l与x轴的交点为A,椭圆的上顶点为B,直线AB被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为 .
(1)求椭圆E的方程及圆O的方程;
(2)若M是准线l上纵坐标为t的点,求证:存在一个异于M的点Q,对于圆O上任意一点N,有 为定值;且当M在直线l上运动时,点Q在一个定圆上.
(1)求椭圆E的方程及圆O的方程;
(2)若M是准线l上纵坐标为t的点,求证:存在一个异于M的点Q,对于圆O上任意一点N,有 为定值;且当M在直线l上运动时,点Q在一个定圆上.
▼优质解答
答案和解析
【答案】分析:(1)由椭圆E的离心率为,知a=2k,c=,b2=2k2,即椭圆E:,把点代入得k2=2,由此能求出椭圆E方程和圆的方程.(2)椭圆E的右准线l的方程为x=4.设l上取定的点M为(4,t),圆O上任意的一点N为(x0,y0),定点Q为(x,y).因为NM与NQ的比是常数且Q不同于M,所以NQ2=λNM2,λ是正的常数(λ≠1),即(x0-x)2+(y0-y)2=λ(x0-4)2+λ(y0-t)2,即x2 0+y2 0-2xx0-2yy0+x2+y2=λ(x2 0+y2 0+16+t2-8x0-2ty0).由此入手能够导出点Q在圆心,0,半径为的定圆上.定值为:,Q在圆心,半径为的定圆上.(1)∵椭圆E:的离心率为,∴a=2k,c=,b2=2k2,∴椭圆E:,把点代入得k2=2,∴椭圆E方程:.圆的方程:x2+y2=4(2)证明:椭圆E的右准线l的方程为x=4. 设l上取定的点M为(4,t),圆O上任意的一点N为(x0,y0),定点Q为(x,y). 因为NM与NQ的比是常数且Q不同于M,所以NQ2=λNM2,λ是正的常数(λ≠1),即(x0-x)2+(y0-y)2=λ(x0-4)2+λ(y0-t)2,即x2 0+y2 0-2xx0-2yy0+x2+y2=λ(x2 0+y2 0+16+t2-8x0-2ty0). 将x2 0+y2 0=4代入,有-2xx0-2yy0+x2+y2+4=-8λx0-2λty0+(20+t2)λ. 又有无数组(x0,y0),从而x=4λ,①y=tλ,②x2+y2+4=(20+t2)λ.③ 由①②代入③,得16λ2+t2λ2+4=(20+t2)λ,即(16+t2)λ2-(20+t2)λ+4=0,所以(λ-1)[(16+t2)λ-4]=0. 又因为λ≠1,所以λ=,即存在一个定点Q(不同于点M),使得对于圆O上的任意一点N,均有为定值. 将16+t2=代入③,得x2+y2+4=+4λ,即x2+y2=4λ,于是x2+y2=x,即x-2+y2=,故点Q在圆心,0,半径为的定圆上.定值为:,Q在圆心,半径为的定圆上点评:本题考查圆与圆锥曲线的综合运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件.
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