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(2014•徐汇区二模)如图,直线y=4x+4与x轴、y轴相交于B、C两点,抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)过点B、C,且与x轴另一个交点为A,以OC、OA为边作矩形OADC,CD交抛物线于点G.(1)求抛物线的解析式
题目详情
(2014•徐汇区二模)如图,直线y=4x+4与x轴、y轴相交于B、C两点,抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)过点B、C,且与x轴另一个交点为A,以OC、OA为边作矩形OADC,CD交抛物线于点G.
(1)求抛物线的解析式以及点A的坐标;
(2)已知直线x=m交OA于点E,交CD于点F,交AC于点M,交抛物线(CD上方部分)于点P,请用含m的代数式表示PM的长;
(3)在(2)的条件下,联结PC,若△PCF和△AEM相似,求m的值.
(1)求抛物线的解析式以及点A的坐标;
(2)已知直线x=m交OA于点E,交CD于点F,交AC于点M,交抛物线(CD上方部分)于点P,请用含m的代数式表示PM的长;
(3)在(2)的条件下,联结PC,若△PCF和△AEM相似,求m的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵直线y=4x+4与x轴、y轴相交于B、C两点,
∴C坐标为(0,4),
设y=0,则x=-1,
∴B坐标为(-1,0),
∵抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)过点B、C,
∴
,
解得:
,
∴抛物线的解析式为y=-
x2+
x+4,
设y=0,0=-
x2+
x+4,
解得:x=-1或3,
∴A的坐标为:(3,0);
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,
∵A(3,0),点C(0,4),
∴
,解得
,
∴直线AC的解析式为y=-
x+4.
∵点M的横坐标为m,点M在AC上,
∴M点的坐标为(m,-
m+4),
∵点P的横坐标为m,点P在抛物线y=-
x2+
x+4上,
∴点P的坐标为(m,-
m2+
m+4),
∴PM=PE-ME=(-
m2+
m+4)-(-
m+4)=-
m2+4m,
即PM=-
m2+4m(0<m<2);
(3)在(2)的条件下,连结PC,在CD上方的抛物线部分存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似.理由如下:
由题意,可得AE=3-m,EM=-
m+4,CF=m,PF=-
m2+
m+4-4=-
m2+
m.
若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似,分两种情况:
①若△PFC∽△AEM,则PF:AE=FC:EM,
即(-
m2+
m):(3-m)=m:(-
m+4),
∵m≠0且m≠3,
∴m=
.
②若△CFP∽△AEM,则CF:AE=PF:EM,
即m:(3-m)=(-
m2+
m):(-
m+4),
∵m≠0且m≠3,
∴m=1.
综上所述,存在这样的点P使△PFC与△AEM相似.此时m的值为
或1.
∴C坐标为(0,4),
设y=0,则x=-1,
∴B坐标为(-1,0),
∵抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)过点B、C,
∴
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解得:
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∴抛物线的解析式为y=-
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设y=0,0=-
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解得:x=-1或3,
∴A的坐标为:(3,0);
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,
∵A(3,0),点C(0,4),
∴
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∴直线AC的解析式为y=-
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∵点M的横坐标为m,点M在AC上,
∴M点的坐标为(m,-
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∵点P的横坐标为m,点P在抛物线y=-
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∴点P的坐标为(m,-
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∴PM=PE-ME=(-
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即PM=-
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(3)在(2)的条件下,连结PC,在CD上方的抛物线部分存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似.理由如下:
由题意,可得AE=3-m,EM=-
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若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似,分两种情况:
①若△PFC∽△AEM,则PF:AE=FC:EM,
即(-
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∵m≠0且m≠3,
∴m=
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②若△CFP∽△AEM,则CF:AE=PF:EM,
即m:(3-m)=(-
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∵m≠0且m≠3,
∴m=1.
综上所述,存在这样的点P使△PFC与△AEM相似.此时m的值为
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