设函数f(x)=(x+sinx)/x,g(x)=xcosx-sinx.（1）.求证：当x∈（0,π时,g（x）＜0（2）.存在x∈（0,π,使得f（x）＜a成立,求a的取值范围（3）.若g（bx）≤bxcosbx-bsinx（b≥-1）对x∈（0,π恒成立,求b的取

Question

设函数f(x)=(x+sinx)/x,g(x)=xcosx-sinx.
（1）.求证：当x∈（0,π】时,g（x）＜0
（2）.存在x∈（0,π】,使得f（x）＜a成立,求a的取值范围
（3）.若g（bx）≤bxcosbx-bsinx（b≥-1）对x∈（0,π】恒成立,求b的取值范围
请详解第3问

Answer 1

由g（bx）≤bxcosbx-bsinx（b≥-1）,得sinbx≥bsinx（b≥-1）对x∈（0,π]恒成立,
①当b=-1,0,1时,不等式显然成立
②当b＞1时,因为bx∈（0,bπ],所以取,
则有sinbx0=0＜bsinx0,从而时不等式不恒成立
③当0＜b＜1时,由（Ⅱ）可知在（0,π]上单调递减,而0＜bx＜x≤π,
∴sinbx＞bsinx成立
④当-1＜b＜0时,当x∈（0,π]时,0＜-bx＜x≤π,
则,∴sinbx＜bsinx不成立,
综上所述,当b=-1或0≤b≤1时,有g（bx）≤bxcosbx-bsinx（b≥-1）对x∈（0,π]恒成立
数学转化思想,希望对你有所帮助.