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已知函数.其中.(1)若曲线y=f(x)与y=g(x)在x=1处的切线相互平行,求两平行直线间的距离;(2)若f(x)≤g(x)-1对任意x>0恒成立,求实数的值;(3)当<0时,对于函数h(x)=f(x)-g(x)+1,
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已知函数 .其中 . (1)若曲线y=f(x)与y=g(x)在x=1处的切线相互平行,求两平行直线间的距离; (2)若f(x)≤g(x)-1对任意x>0恒成立,求实数 的值; (3)当 <0时,对于函数h(x)=f(x)-g(x)+1,记在h(x)图象上任取两点A、B连线的斜率为 ,若 ,求 的取值范围. |
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已知函数 .其中 . (1)若曲线y=f(x)与y=g(x)在x=1处的切线相互平行,求两平行直线间的距离; (2)若f(x)≤g(x)-1对任意x>0恒成立,求实数 的值; (3)当 <0时,对于函数h(x)=f(x)-g(x)+1,记在h(x)图象上任取两点A、B连线的斜率为 ,若 ,求 的取值范围. |
(1) ;(2)2; (3) |
试题分析:(1)因为曲线y=f(x)与y=g(x)在x=1处的切线相互平行,所以分别对这两个函数求导,可得导函数在x=1处的斜率相等,即可求出 的值以及求出两条切线方程.再根据平行间的距离公式求出两切线的距离. (2) 由f(x)≤g(x)-1对任意x>0恒成立,所以构造一个新的函数,在x>0时求出函数的最值符合条件即可得到 的范围. (3)根据(2)所得的结论当当 <0时,由(2)知 <0,∴h(x)在(0,+∞)上是减函数,所以根据 可以得到函数与变量的关系式,从而构造一个新的函数,得到 的范围. 试题解析:(1) ,依题意得: ="2;" 曲线y=f(x)在x=1处的切线为2x-y-2=0, 曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为2x-y-1=0.两直线间的距离为 (2)令h(x)=f(x)-g(x)+1, ,则 当 ≤0时, 注意到x>0, 所以 <0, 所以h(x)在(0,+∞)单调递减,又h(1)=0,故0<x<1时,h(x)>0,即f(x)> g(x)-1,与题设矛盾. 当 >0时, 当 , 当 时, 所以h(x)在上是增函数,在上是减函数, ∴h(x)≤ 因为h(1)=0,又当 ≠2时,≠1, 与 不符.所以 =2. (3)当 <0时,由(2)知 <0,∴h(x)在(0,+∞)上是减函数, 不妨设0<x 1 ≤x 2 ,则|h(x 1 )-h(x 2 )|=h(x 1 )-h(x 2 ),|x 1 -x 2 |=x 2 -x 1 , ∴|h(x 1 )-h(x 2 )|≥|x 1 -x 2 | 等价于h(x 1 )-h(x 2 )≥x 2 -x 1 ,即h(x 1 )+x 1 ≥h(x 2 )+x 2 ,令H(x)=h(x)+x= lnx-x 2 +x+1,H(x)在(0,+∞)上是减函数, ∵ (x>0),∴-2x 2 +x+ ≤0在x>0时恒成立,∴ ≤(2x 2 -x) min 又x>0时, (2x 2 -x) min = ∴a≤-,又a<0,∴a的取值范围是 . |
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