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如图所示,已知直线y=x与抛物线y=ax2+b(a≠0)交于A(-4,-2),B(6,3)两点.抛物线与y轴的交点为C.(1)求这个抛物线的解析式;(2)在抛物线上存在点M,是△MAB是以AB为底边的等腰三
题目详情
如图所示,已知直线y=
x与抛物线y=ax2+b(a≠0)交于A(-4,-2),B(6,3)两点.抛物线与y轴的交点为C.
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)在抛物线上存在点M,是△MAB是以AB为底边的等腰三角形,求点M的坐标;
(3)在抛物线上是否存在点P使得△PAC的面积是△ABC面积的
?若存在,试求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/94cad1c8a786c917184f2889cc3d70cf3bc75735.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a5c27d1ed21b0ef49b96e2eed8c451da81cb3e07.jpg)
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)在抛物线上存在点M,是△MAB是以AB为底边的等腰三角形,求点M的坐标;
(3)在抛物线上是否存在点P使得△PAC的面积是△ABC面积的
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/838ba61ea8d3fd1f1e45d88a354e251f95ca5f35.jpg)
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▼优质解答
答案和解析
(1)根据A、B的坐标即可求出抛物线的解析式;
(2)若等腰△MAB以AB为底边,则M必为AB的垂直平分线与抛物线的交点;根据A、B的坐标,易求出其中点的坐标,进而可求出其垂直平分线的解析式,联立抛物线的解析式即可得到M点的坐标;
(3)由于△BAC与△PAC同底不等高,那么它们的面积比等于底边的比,可过B作BF⊥AC,求出△ABC的面积后即可得到BF的长;可在BF上截取BK=
BF,那么P点必为过K点且平行于AC的直线与抛物线的交点;可分别过A、F作y轴的垂线,设垂足为G、H,求出∠GAC、∠HFC的度数,从而可得到∠BNx的度数,而BN的长求得,即可得出NK的值,从而求出K点的坐标;易求出直线AC的解析式,由于过K的直线与AC平行,那么它们的斜率相同,由此可求出直线KP的解析式,联立抛物线的解析式即可求得P点的坐标.
【解析】
(1)由题意,得:
,
解得
;
∴抛物线的解析式为y=
x2-6;
(2)如图1,取AB的中点E,则E(1,
);过E作直线l垂直于AB;![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4b90f603738da9778a51fc9bb551f8198618e300.jpg)
∵直线AB的解析式为:y=
x,∴可设直线l的解析式为y=-2x+b;
∵直线l过E(1,
),则有:
=-2+b,b=
;
∴直线l的解析式为:y=-2x+
;联立抛物线的解析式有:
,
解得
,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/86d6277f9e2f0708ec4950b0ec24b899a901f236.jpg)
∴M(-4+5
,
-10
)或(-4-5
,
+10
);
(3)过B作BF⊥AC于F,交x轴于N;
过F作FH⊥y轴于H,过A作AG⊥y轴于G;![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/14ce36d3d539b6003db77507ec50352ac65cb700.jpg)
在BF上截取BK=
BF;
∵A(-4,-2),B(6,3),C(0,-6)
∴S△ABC=
OC×|xB-xA|
=
×6×10=30;
Rt△AGC中,AG=CG=4,则∠GAC=∠HFC=45°,AC=4
;
∵∠BFC=90°,
∴∠BNx=∠BFH=90°-45°=45°;
易知BN=3
,BK=
BF=
×
=
×
=
;
∴NK=BN-BK=
;
由于∠BNx=45°,可求得K(
,
);
易知直线AC的解析式为:y=-x-6,过K作直线m平行于AC,可设直线m的解析式为:y=-x+h,则:
-
+h=
,h=
;
∴直线m的解析式为y=-x+
;
由于△ABC与△PAC等底不等高,
则面积比等于高的比,由于KF=
BF,那么P点必为直线m与抛物线的交点,联立直线m与抛物线的解析式可得:
,
解得
,
;
∴P点的坐标为(5,
)或(-9,
).
(2)若等腰△MAB以AB为底边,则M必为AB的垂直平分线与抛物线的交点;根据A、B的坐标,易求出其中点的坐标,进而可求出其垂直平分线的解析式,联立抛物线的解析式即可得到M点的坐标;
(3)由于△BAC与△PAC同底不等高,那么它们的面积比等于底边的比,可过B作BF⊥AC,求出△ABC的面积后即可得到BF的长;可在BF上截取BK=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9e3df8dcd100baa1bd603d0b4210b912c8fc2e35.jpg)
【解析】
(1)由题意,得:
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4610b912c8fcc3ceb58cb3839745d688d43f2035.jpg)
解得
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8694a4c27d1ed21b71855455a86eddc451da3f35.jpg)
∴抛物线的解析式为y=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b64543a98226cffcb254c502bc014a90f603ea00.jpg)
(2)如图1,取AB的中点E,则E(1,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/962bd40735fae6cdf4f8d1d10ab30f2442a70f35.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4b90f603738da9778a51fc9bb551f8198618e300.jpg)
∵直线AB的解析式为:y=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/43a7d933c895d1433a3a9e9376f082025aaf0735.jpg)
∵直线l过E(1,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4bed2e738bd4b31c3942ee0b82d6277f9e2ff800.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/86d6277f9e2f0708ec7b50b0ec24b899a901f200.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/42a98226cffc1e1727f3f6814f90f603738de936.jpg)
∴直线l的解析式为:y=-2x+
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/060828381f30e9247fdae68149086e061d95f700.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4d086e061d950a7bcf4b34740fd162d9f2d3c900.jpg)
解得
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/7af40ad162d9f2d3856f5e5facec8a136327cc00.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/86d6277f9e2f0708ec4950b0ec24b899a901f236.jpg)
∴M(-4+5
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/730e0cf3d7ca7bcbe405bd9fbb096b63f624a800.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/03087bf40ad162d923a218ac14dfa9ec8a13cd36.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0b46f21fbe096b63046724e009338744ebf8ac00.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8b13632762d0f70348feef6c0dfa513d2697c536.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d8f9d72a6059252d296967b4319b033b5bb5b900.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/54fbb2fb43166d22ab3b6f24432309f79052d236.jpg)
(3)过B作BF⊥AC于F,交x轴于N;
过F作FH⊥y轴于H,过A作AG⊥y轴于G;
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/14ce36d3d539b6003db77507ec50352ac65cb700.jpg)
在BF上截取BK=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/342ac65c10385343f5b6fd919613b07eca808800.jpg)
∵A(-4,-2),B(6,3),C(0,-6)
∴S△ABC=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/96dda144ad345982a8f39f2209f431adcbef8400.jpg)
=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0df431adcbef76096b72e32f2bdda3cc7cd99e00.jpg)
Rt△AGC中,AG=CG=4,则∠GAC=∠HFC=45°,AC=4
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/242dd42a2834349b03491435ccea15ce36d3be36.jpg)
∵∠BFC=90°,
∴∠BNx=∠BFH=90°-45°=45°;
易知BN=3
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/caef76094b36acaf0c99ec4c79d98d1001e99c00.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c8ea15ce36d3d539b07275733f87e950352ab036.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/2e2eb9389b504fc2e426cab5e0dde71190ef6d00.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f11f3a292df5e0fedd61f3b1596034a85edf7200.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/35a85edf8db1cb13021046a3d854564e92584b00.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d058ccbf6c81800a4e9cf3beb43533fa828b4700.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/241f95cad1c8a786af5330be6209c93d70cf5000.jpg)
∴NK=BN-BK=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d0c8a786c9177f3e0f4d86bd75cf3bc79f3d5600.jpg)
由于∠BNx=45°,可求得K(
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/6609c93d70cf3bc7f379b75cd400baa1cd112a00.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/55e736d12f2eb938b4220042d0628535e5dd6f36.jpg)
易知直线AC的解析式为:y=-x-6,过K作直线m平行于AC,可设直线m的解析式为:y=-x+h,则:
-
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/cc11728b4710b912bcb88c4ec6fdfc0392452200.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a5c27d1ed21b0ef49b91e2eed8c451da81cb3e00.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/48540923dd54564edd2a9e89b6de9c82d1584f36.jpg)
∴直线m的解析式为y=-x+
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5366d0160924ab181c6f9b8730fae6cd7b890b00.jpg)
由于△ABC与△PAC等底不等高,
则面积比等于高的比,由于KF=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/aa18972bd40735fa688934099b510fb30f240800.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/cdbf6c81800a19d8e44cfeb536fa828ba61e4636.jpg)
解得
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/94cad1c8a786c917184c2889cc3d70cf3bc75736.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/83025aafa40f4bfb65a9e4e4064f78f0f7361800.jpg)
∴P点的坐标为(5,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/3ac79f3df8dcd100d5d38291778b4710b9122f36.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/aec379310a55b3194c80f8c546a98226cffc1700.jpg)
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