若随机变量（X，Y）的联合概率密度为f（x，y）=x+y0，0≤x≤1，0≤y≤1，其他；（1）求随机变量X和Y的边缘概率密度fx（x），fy（y）；（2）X和Y是否独立？（3）求Z=X-Y的概率密度．

Question

若随机变量（X，Y）的联合概率密度为f（x，y）=

x+y

0

，0≤x≤1，0≤y≤1

，其他

；
（1）求随机变量X和Y的边缘概率密度f_x（x），f_y（y）；
（2）X和Y是否独立？
（3）求Z=X-Y的概率密度．

Answer 1

（1）由于fX(x)＝

∫

+∞ −∞

f(x，y)dy、fY(y)＝

∫

+∞ −∞

f(x，y)dx
∴fX(x)＝

∫

1 0

(x+y)dy＝x+(1)/(2)，0≤x≤1，
fY(y)＝

∫

1 0

(x+y)dx＝y+(1)/(2)，0≤y≤1
∴fX(x)＝

x+(1)/(2)	，0≤x≤1
0	，其它

fY(y)＝

y+(1)/(2)	，0≤x≤1
0	，其它

（2）由（1）知fX(x)•fY(y)＝(x+(1)/(2))(y+(1)/(2))≠f（x，y），0≤x≤1，0≤y≤1
∴X与Y不独立
（3）设Z的分布函数为F_Z（z），其概率密度为f_Z（z），则
F_Z（z）=P（Z≤z）=P（X-Y≤z）
=

∫∫

x−y≤z

f(x，y)dxdy=

∫

+∞ −∞

dy

∫

y+z

作业帮用户 2017-10-11

问题解析

（1）直接根据根据边缘密度函数的定义fX(x)＝

∫

+∞ −∞

f(x，y)dy、fY(y)＝

∫

+∞ −∞

f(x，y)dx求出f_X（x），（f_Y（y）；（2）将（1）求出的两个边缘密度相乘，看是否等于f（x，y）；（3）先求出Z的分布函数，然后求导得到其概率密度．

名师点评

本题考点：

二维连续型随机变量的分布函数；根据联合概率密度求边缘概率密度；随机变量相互独立的定义．

考点点评：

此题考查连续型随机变量的联合概率密度函数边缘概率密度的求法以及独立的判断和随机变量函数的概率密度的求法，识记好基本的性质和计算方法，就容易得出答案．

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