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与双曲线-y2=1有公共焦点,且离心率为.A,B分别是椭圆C的左顶点和右顶点.点S是椭圆C上位于x轴上方的动点.直线AS,BS分别与直线l:x=分别交于M,N两点.(1)求椭圆C的方程;(2)延长MB
题目详情
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/adaf2edda3cc7cd950e6981e3a01213fb90e912a.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/6159252dd42a283482ba99cc58b5c9ea14cebfdd.jpg)
(1)求椭圆C的方程;
(2)延长MB交椭圆C于点P,若PS⊥AM,试证明MS2=MB•MP.
(3)当线段MN的长度最小时,在椭圆C上是否存在点T,使得△TSB的面积为
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9345d688d43f879497c6e7e9d11b0ef41bd53a3f.jpg)
▼优质解答
答案和解析
(1)∵椭圆C:
与双曲线
-y2=1有公共焦点
∴椭圆C的焦点为
,
∴
,
又∵
,
∴a=2,b=1,
∴椭圆的方程为
.…(3分)
(2)证明:直线AS的斜率k显然存在,且k>0,故可设直线AS的方程为y=k(x+2),从而![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f636afc379310a55f0b95f3eb44543a98326105e.jpg)
由
得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0
设S(x1,y1),则
得
,从而
…(5分)
即![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/342ac65c10385343742362e69013b07ecb80880d.jpg)
又B(2,0),从而
,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/adaf2edda3cc7cd94fb0b5133a01213fb90e915f.jpg)
∴
,
∴
,
又因为PS⊥AM,由射影定理可得MS2=MB•MP.…(7分)
(3)由
得![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/314e251f95cad1c8a5f87ded7c3e6709c83d51bc.jpg)
∴![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9e3df8dcd100baa1c0b0c6714410b912c9fc2e5f.jpg)
又k>0,∴![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d31b0ef41bd5ad6ec2bae52082cb39dbb7fd3cbc.jpg)
当且仅当
,即
时等号成立
∴
时,线段MN的长度取最小值![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/314e251f95cad1c8bbaf53e07c3e6709c83d51e4.jpg)
此时BS的方程为
,∴
…(9分)
要使椭圆C上存在点T,使得△TSB的面积等于
,只须T到直线BS的距离等于
,
所以T在平行于BS且与BS距离等于
的直线l'上.
设直线l':x+y+t=0,则由
,解得
或
.
当
时,由
,得5x2-12x+5=0
由于△=44>0,故直线l'与椭圆C有两个不同的交点;
当
时,由
得5x2-20x+21=0,
由于△=-20<0,故直线l'与椭圆没有交点.
综上所述,当线段MN的长度最小时,在椭圆C上仅存在两个不同的点T,使得△TSB的面积为
.…(12分)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a9d3fd1f4134970a359088e896cad1c8a6865d11.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b8389b504fc2d562344f372ae41190ef77c66cb6.jpg)
∴椭圆C的焦点为
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0ff41bd5ad6eddc471a735313adbb6fd536633b3.jpg)
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/902397dda144ad34c7037e40d3a20cf430ad85bd.jpg)
又∵
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/42166d224f4a20a43090c80093529822730ed06f.jpg)
∴a=2,b=1,
∴椭圆的方程为
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/21a4462309f790521543dff90ff3d7ca7acbd59d.jpg)
(2)证明:直线AS的斜率k显然存在,且k>0,故可设直线AS的方程为y=k(x+2),从而
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f636afc379310a55f0b95f3eb44543a98326105e.jpg)
由
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/03087bf40ad162d99c73e3d612dfa9ec8b13cd5f.jpg)
设S(x1,y1),则
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a8014c086e061d956306b6f278f40ad163d9cabc.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9d82d158ccbf6c8157c1c92fbf3eb13532fa4007.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/7acb0a46f21fbe0919bb26d368600c338644ad14.jpg)
即
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/342ac65c10385343742362e69013b07ecb80880d.jpg)
又B(2,0),从而
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/472309f790529822f573b809d4ca7bcb0b46d4bc.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/adaf2edda3cc7cd94fb0b5133a01213fb90e915f.jpg)
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/342ac65c10385343508f06eb9013b07ecb8088bc.jpg)
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/7aec54e736d12f2e72452faa4cc2d562843568bc.jpg)
又因为PS⊥AM,由射影定理可得MS2=MB•MP.…(7分)
(3)由
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/48540923dd54564e7ef865f3b0de9c82d0584f5f.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/314e251f95cad1c8a5f87ded7c3e6709c83d51bc.jpg)
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9e3df8dcd100baa1c0b0c6714410b912c9fc2e5f.jpg)
又k>0,∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d31b0ef41bd5ad6ec2bae52082cb39dbb7fd3cbc.jpg)
当且仅当
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/e7cd7b899e510fb3205af65dda33c895d0430cbc.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/77094b36acaf2eddfe856b218e1001e938019385.jpg)
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/77094b36acaf2eddfe856b218e1001e938019385.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/314e251f95cad1c8bbaf53e07c3e6709c83d51e4.jpg)
此时BS的方程为
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0824ab18972bd4071f5b523778899e510eb3095f.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/72f082025aafa40f715a4f17a864034f79f0195f.jpg)
要使椭圆C上存在点T,使得△TSB的面积等于
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9345d688d43f879497c6e7e9d11b0ef41bd53a3f.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/21a4462309f79052126cc2f90ff3d7ca7acbd582.jpg)
所以T在平行于BS且与BS距离等于
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/21a4462309f79052126cc2f90ff3d7ca7acbd582.jpg)
设直线l':x+y+t=0,则由
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8326cffc1e178a82f2a0fe6af503738da877e858.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/342ac65c1038534391cd47e99013b07ecb8088fc.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/48540923dd54564e28aa37feb0de9c82d0584f2e.jpg)
当
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/342ac65c1038534391cd47e99013b07ecb8088fc.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b21c8701a18b87d679de2ad5040828381e30fd58.jpg)
由于△=44>0,故直线l'与椭圆C有两个不同的交点;
当
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/48540923dd54564e28aa37feb0de9c82d0584f2e.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f603918fa0ec08fa2843926d5aee3d6d54fbdabd.jpg)
由于△=-20<0,故直线l'与椭圆没有交点.
综上所述,当线段MN的长度最小时,在椭圆C上仅存在两个不同的点T,使得△TSB的面积为
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9345d688d43f879497c6e7e9d11b0ef41bd53a3f.jpg)
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