已知指数函数y=g(x)满足：g(-3)=1/8,定义域为R的函数f（x）=(-g(x)+n)/(2g(x)+m)是奇函数（1）确定y=g(x)的解析式（2）求m、n的值（3）若对任意t∈R,不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)＜0恒成立,求实数k的取值范围

Question

已知指数函数y=g(x)满足：g(-3)=1/8,定义域为R的函数
f（x）=(-g(x)+n)/(2g(x)+m)是奇函数
（1）确定y=g(x)的解析式
（2）求m、n的值
（3）若对任意t∈R,不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)＜0恒成立,求实数k的取值范围

Answer 1

(1)g(x)是指数函数,设g(x)=a^x (a>0且a不等于1)因为g(-3)=1/8,即a^(-3)=1/8=2^(-3)得a=2所以g(x)=2^x(2)由(1)得f（x）=(-g(x)+n)/(2g(x)+m)=(-2^x + n)/(2*2^x + m)f(-x)=(-2^(-x) + n)/(2*2^(-x) + m)=因为定义域为R的函数f（x）=(-g(x)+n)/(2g(x)+m)是奇函数
所以f(x)+f(-x)=0即(-2^x + n)/(2*2^x + m) + (-2^(-x) + n)/(2*2^(-x) + m) = 0即(-2^x + n)(2*2^(-x) + m) + (-2^(-x) + n)(2*2^x + m)=0化简得(2^x + 2^(-x))(2n-m) + 2mn - 4=0所以2n-m=0且2mn-4=0前面代入后面得n^2=1,即n=±1当n=1时m=2n=2,此时f(x)=(-2^x + 1) /(2*2^x + 2),满足题意当n=-1时m=2n=-2,此时f(x)=(-2^x - 1) /(2*2^x - 2)此时由分母不为0得x不等于0,不满足定义域为R,故舍去所以m=2 , n=1(3)由(2)得f(x)=(-2^x + 1) /(2*2^x + 2) = (1/2) * [(-2^x + 1)/(2^x+1)] = (1/2)*[-1 + 2/(2^x + 1)]=-1/2 + 1/(2^x + 1)设x1 k - 2t^2即3t^2 - 2t > k所以k只要小于3t^2-2t的最小值即可3t^2 -2t=3(t - 1/3)^2 - 1/3,当t=1/3时,取得最小值为-1/3所以k< -1/3