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对于一个自然数n,如果能找到自然数a(a>0)和b(b>0),使n-1=a+b+ab,则称n为一个“十字相乘数”,例如:4-1=1+1+1×1,则4是一个“十字相乘数”,在1~20这20个自然数中,“十字相乘数”

题目详情
对于一个自然数n,如果能找到自然数a(a>0)和b(b>0),使n-1=a+b+ab,则称n为一个“十字相乘数”,例如:4-1=1+1+1×1,则4是一个“十字相乘数”,在1~20这20个自然数中,“十字相乘数”共有______个.
▼优质解答
答案和解析
由n-1=a+b+ab可知,n=a+b+ab+1=(a+1)(b+1)
当a=b时,“十字相乘数”可取4,9,16这3个数;
当a≠b时,不妨设a>b,则
若b=2时,则a>2,且a+1≤
20
3
,a≤
17
3
=5
2
3

故a=3,4,5,此时“十字相乘数”为12,15,18;
若b=3时,则a>3,且a+1≤
20
4

a≤4,故a=4,此时“十字相乘数”为20;
若b>3,不合题意;
同理可得出:当a=1,b=2或3或4或6时,n=6或8或10或14,
故符合题意的“十字相乘数”一共有11个.
故答案为:11.