设矩阵A=2,1,1;1,2,1;1,1,a,向量a=1,b,1是矩阵A*的一个特征向量,求a和b

Question

设矩阵A=【2,1,1;1,2,1;1,1,a】,向量a=【1,b,1】是矩阵A*的一个特征向量,求a和b

Answer 1

由定理,A*的特征向量也是A的特征向量.
所以存在λ使得 Aa=λa
即得
b+3 = λ
2b+2 = λb
a+b+1 = λ
由1,3式解得:a=2
且 2b+2 = b(b+3)
即 b^2+b-2 = 0
即 (b-1)(b+2)=0
所以 b=1 或 b=-2.
注:
设α是A*的属于特征值λ的特征向量
则 A*α=λα
所以 AA*α=λAα,即 |A|α=λAα
所以当A可逆时,Aα=(|A|/λ)α
所以α也是A的特征向量