假设箱子里有无限多的红球和黑球,每次摸球摸到红球和黑球的概率是0.5.如果规定连续模到k个红球就停止摸球(k>=1),否则继续摸球,求最后摸到黑球个数的数学期望.注意是连续模到k个红球才停

Question

假设箱子里有无限多的红球和黑球,每次摸球摸到红球和黑球的概率是0.5.如果规定连续模到k个红球就停止摸球(k>=1),否则继续摸球,求最后摸到黑球个数的数学期望.
注意是连续模到k个红球才停止摸球，如果k=2则 “红黑红黑黑红红” 也是一种方案 则此时黑球为3个
1楼 这个n是不确定的，需要讨论所有n的情况
2楼3楼都不正确 3楼你这个假设只有k个红球，实际上其他黑球的间隙间还能夹杂任何小于k-1个红球。

Answer 1

记所求的期望是 f(k).
要点是一旦摸到黑球之后一切从头开始,摸到红球则向目标迈进一步,于是有
f(1) = 1/2*( 1+f(1) ) + 1/2*0
f(2) = 1/2*( 1+f(2) ) + 1/2*( 1/2*( 1+f(2) ) + 1/2*0 )
f(3) = 1/2*( 1+f(3) ) + 1/2*( 1/2*( 1+f(3) ) + 1/2*( 1/2*( 1+f(3) ) + 1/2*0 ) )
...
一般地,对于 f(k),同样可以列出上述方程,这是一元一次方程,容易直接解出 f(k) = 2^k-1.