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(2000•江西)如图,已知O是正方形ABCD对角线AC上一点,以O为圆心、OA的长为半径的⊙O与BC相切于M,与AB、AD分别相交于E、F.(1)求证:CD与⊙O相切;(2)若正方形ABCD的边长为1,求⊙O的
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(2000•江西)如图,已知O是正方形ABCD对角线AC上一点,以O为圆心、OA的长为半径的⊙O与BC相切于M,与AB、AD分别相交于E、F.
(1)求证:CD与⊙O相切;
(2)若正方形ABCD的边长为1,求⊙O的半径;
(3)对于以点M、E、A、F以及CD与⊙O的切点为顶点的五边形的五条边,从相等关系考虑,你可以得出什么结论?请给出证明.
(1)求证:CD与⊙O相切;
(2)若正方形ABCD的边长为1,求⊙O的半径;
(3)对于以点M、E、A、F以及CD与⊙O的切点为顶点的五边形的五条边,从相等关系考虑,你可以得出什么结论?请给出证明.
▼优质解答
答案和解析
(1)过O作ON⊥CD于N,然后证ON的长等于⊙O的半径即可;连接OM,根据正方形和角平分线的性质,证OM=ON即可.
(2)若正方形的边长为1,则对角线AC的长为,可用⊙O的半径表示出OA、OM、OC的长,然后根据AC的长度求出⊙O的半径.
(3)五边形中可能相等边的有两组:①AE=AF=MN,②ME=MF;
①易证得四边形OMCN是正方形,那么△MNC是等腰直角三角形,而MC、CN都等于⊙O的半径,即可求得MN的长;下面求AE、AF的长,以AE为例,易求得BM的长,根据切割线定理即可求得BE的长,进而可得到AE的长,AF的求法相同,然后比较AE、AF、MN是否相等即可;
②求ME=MF,证△MBE≌△NDF即可.
(1)证明:连接OM,则OM⊥BC,过O作ON⊥CD于N.(1分)
∵点O在正方形ABCD的对角线AC上,
∴∠ACB=∠ACD=45°,
∴OM=ON.
∵OA=OM,
∴ON=OM=OA,即ON是⊙O的半径.
∵ON⊥CD,
∴CD与⊙O相切于点N.
(2)【解析】
设⊙O的半径为R,则OM=R.
∵正方形ABCD的边长为1,
∴AC=,OC=-R.
在Rt△OMC中,
∵sin∠OCM=,
∴sin45°=,
解之,得R=2-.
(3)【解析】
对五边形MEAFN的五条边,从相等关系考虑,有
①AE=AF=MN;②EM=FN.
证明如下:
①∵∠OMC=∠ONC=∠MCN=90°,OM=ON,
∴四边形OMCN是正方形.
MC=NC=R=2-,BM=DN=-1,
在Rt△MNC中,MN=R=2-2;
∵BC切⊙O于M,
∴BM2=BE•BA,
∴BE=,
同理DF=3-2,
∴AE=AF=1-(3-2)=2-2,
∴AE=AF=MN.(9分)
②∵在Rt△EBM和Rt△FDN中,
,
∴△EBM≌△FDN.
∴EM=FN.
(2)若正方形的边长为1,则对角线AC的长为,可用⊙O的半径表示出OA、OM、OC的长,然后根据AC的长度求出⊙O的半径.
(3)五边形中可能相等边的有两组:①AE=AF=MN,②ME=MF;
①易证得四边形OMCN是正方形,那么△MNC是等腰直角三角形,而MC、CN都等于⊙O的半径,即可求得MN的长;下面求AE、AF的长,以AE为例,易求得BM的长,根据切割线定理即可求得BE的长,进而可得到AE的长,AF的求法相同,然后比较AE、AF、MN是否相等即可;
②求ME=MF,证△MBE≌△NDF即可.
(1)证明:连接OM,则OM⊥BC,过O作ON⊥CD于N.(1分)
∵点O在正方形ABCD的对角线AC上,
∴∠ACB=∠ACD=45°,
∴OM=ON.
∵OA=OM,
∴ON=OM=OA,即ON是⊙O的半径.
∵ON⊥CD,
∴CD与⊙O相切于点N.
(2)【解析】
设⊙O的半径为R,则OM=R.
∵正方形ABCD的边长为1,
∴AC=,OC=-R.
在Rt△OMC中,
∵sin∠OCM=,
∴sin45°=,
解之,得R=2-.
(3)【解析】
对五边形MEAFN的五条边,从相等关系考虑,有
①AE=AF=MN;②EM=FN.
证明如下:
①∵∠OMC=∠ONC=∠MCN=90°,OM=ON,
∴四边形OMCN是正方形.
MC=NC=R=2-,BM=DN=-1,
在Rt△MNC中,MN=R=2-2;
∵BC切⊙O于M,
∴BM2=BE•BA,
∴BE=,
同理DF=3-2,
∴AE=AF=1-(3-2)=2-2,
∴AE=AF=MN.(9分)
②∵在Rt△EBM和Rt△FDN中,
,
∴△EBM≌△FDN.
∴EM=FN.
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