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已知函数f(x)=x3+ax2+bx.(1)若a=2b,试问函数f(x)能否在x=-1处取到极值?若有可能,求出实数a,b的值;否则说明理由.(2)若函数f(x)在区间(-1,2),(2,3)内各有一个极值点,试求w
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已知函数f(x)= x 3 + ax 2 +bx. (1)若a=2b,试问函数f(x)能否在x=-1处取到极值?若有可能,求出实数a,b的值;否则说明理由. (2)若函数f(x)在区间(-1,2),(2,3)内各有一个极值点,试求w=a-4b的取值范围. |
▼优质解答
答案和解析
(1) 不能,理由见解析 (2) (-29,10) |
(1)由题意f′(x)=x 2 +ax+b, ∵a=2b,∴f′(x)=x 2 +2bx+b. 若f(x)在x=-1处取极值, 则f′(-1)=1-2b+b=0,即b=1, 此时f′(x)=x 2 +2x+1=(x+1) 2 ≥0, 函数f(x)为单调递增函数,这与该函数能在x=-1处取极值矛盾, 故该函数不能在x=-1处取得极值. (2)∵函数f(x)= x 3 + ax 2 +bx在区间(-1,2),(2,3)内分别有一个极值点, ∴f′(x)=x 2 +ax+b=0在(-1,2),(2,3)内分别有一个实根, ∴ ⇒ ⇒ 画出不等式表示的平面区域,如图所示, 当目标函数w=a-4b过N(-5,6)时, 对应的w=-29; 当目标函数w=a-4b过M(-2,-3)时, 对应的w=10. 故w=a-4b的取值范围为(-29,10). |
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