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(2013年四川自贡14分)如图,已知抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,直线BD交抛物线于点D,并且D(2,3),tan∠DBA=.(1)求抛物线的解析式;(2)已知点M
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(2013年四川自贡14分)如图,已知抛物线y=ax 2 +bx﹣2(a≠0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,直线BD交抛物线于点D,并且D(2,3),tan∠DBA= . (1)求抛物线的解析式; (2)已知点M为抛物线上一动点,且在第三象限,顺次连接点B、M、C、A,求四边形BMCA面积的最大值; (3)在(2)中四边形BMCA面积最大的条件下,过点M作直线平行于y轴,在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心,OQ为半径且与直线AC相切的圆?若存在,求出圆心Q的坐标;若不存在,请说明理由. |
▼优质解答
答案和解析
(1)如答图1,过点D作DE⊥x轴于点E,则DE=3,OE=2。 ∵ ,∴BE=6。 ∴OB=BE﹣OE=4。∴B(﹣4,0)。 ∵点B(﹣4,0)、D(2,3)在抛物线y=ax 2 +bx﹣2(a≠0)上, ∴ ,解得 。 ∴抛物线的解析式为: 。 (2)在抛物线 中, 令x=0,得y=﹣2,∴C(0,﹣2)。 令y=0,得x=﹣4或1,∴A(1,0)。 设点M坐标为(m,n)(m<0,n<0)。 如答图1,过点M作MF⊥x轴于点F,则MF=﹣n,OF=﹣m,BF=4+m。 ∵点M(m,n)在抛物线 上,∴ ,代入上式得: , ∴当m=﹣2时,四边形BMCA面积有最大值,最大值为9。 (3)假设存在这样的⊙Q, 如答图2所示,设直线x=﹣2与x轴交于点G,与直线AC交于点F 设直线AC的解析式为y=kx+b, 将A(1,0)、C(0,﹣2)代入得: ,解得: 。 ∴直线AC解析式为:y=2x﹣2。 令x=﹣2,得y=﹣6,∴F(﹣2,﹣6),GF=6。 在Rt△AGF中,由勾股定理得: 。 设Q(﹣2,q),则在Rt△AGF中,由勾股定理得: 。 设⊙Q与直线AC相切于点E,则QE=OQ= 。 在Rt△AGF与Rt△QEF中, ∵∠AGF=∠QEF=90°,∠AFG=∠QFE,∴Rt△AGF∽Rt△QEF。 ∴ ,即 。 化简得: ,解得q=4或q=﹣1。 ∴存在一个以Q点为圆心,OQ为半径且与直线AC相切的圆,点Q的坐标为(﹣2,4)或(﹣2,﹣1)。 |
(1)如答图1所示,利用已知条件求出点B的坐标,然后用待定系数法求出抛物线的解析式。 (2)如答图1所示,首先求出四边形BMCA面积的表达式,然后利用二次函数的性质求出其最大值。 (3)如答图2所示,首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标,从而确定了Rt△AGF的各个边长;然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF,利用相似线段比例关系列出方程,求出点Q的坐标。 |
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